Theorem lcmfval 16658

Description: Value of the lcm function. (lcm‘𝑍) is the least common multiple of the integers contained in the finite subset of integers 𝑍. If at least one of the elements of 𝑍 is 0, the result is defined conventionally as 0. (Contributed by AV, 21-Apr-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfval	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))

Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem lcmfval

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lcmf 16628	. 2 ⊢ lcm = (𝑧 ∈ 𝒫 ℤ ↦ if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑧 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
2		eleq2 2830	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (0 ∈ 𝑧 ↔ 0 ∈ 𝑍))
3		raleq 3323	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑚 ∈ 𝑧 𝑚 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛))
4	3	rabbidv 3444	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑧 𝑚 ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛})
5	4	infeq1d 9517	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑧 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6	2, 5	ifbieq2d 4552	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑧 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))
7		zex 12622	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
8	7	ssex 5321	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ∈ V)
9		elpwg 4603	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑍 ∈ 𝒫 ℤ ↔ 𝑍 ⊆ ℤ))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑍 ∈ 𝒫 ℤ ↔ 𝑍 ⊆ ℤ))
11	10	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ∈ 𝒫 ℤ)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑍 ∈ 𝒫 ℤ)
13		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → 0 ∈ ℕ0)
15		df-nel 3047	. . . 4 ⊢ (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
16		ssrab2 4080	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
17		nnssnn0 12529	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
18	16, 17	sstri 3993	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ0
19		nnuz 12921	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	16, 19	sseqtri 4032	. . . . . 6 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ⊆ (ℤ≥‘1)
21		fissn0dvdsn0 16657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ≠ ∅)
22	21	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ≠ ∅)
23		infssuzcl 12974	. . . . . 6 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛})
24	20, 22, 23	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛})
25	18, 24	sselid 3981	. . . 4 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
26	15, 25	sylan2br 595	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
27	14, 26	ifclda 4561	. 2 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
28	1, 6, 12, 27	fvmptd3 7039	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  infcinf 9481  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ∥ cdvds 16290  lcmclcmf 16626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-lcmf 16628

This theorem is referenced by:  lcmfn0val  16660  lcmfpr  16664