MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfval 15542
Description: Value of the lcm function. (lcm𝑍) is the least common multiple of the integers contained in the finite subset of integers 𝑍. If at least one of the elements of 𝑍 is 0, the result is defined conventionally as 0. (Contributed by AV, 21-Apr-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfval ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem lcmfval
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lcmf 15512 . . 3 lcm = (𝑧 ∈ 𝒫 ℤ ↦ if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
21a1i 11 . 2 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → lcm = (𝑧 ∈ 𝒫 ℤ ↦ if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < ))))
3 eleq2 2839 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → (0 ∈ 𝑧 ↔ 0 ∈ 𝑍))
4 raleq 3287 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑚𝑧 𝑚𝑛 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛))
54rabbidv 3339 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛})
65infeq1d 8539 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ))
73, 6ifbieq2d 4250 . . 3 (𝑧 = 𝑍 → if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < )) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
87adantl 467 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 𝑧 = 𝑍) → if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < )) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
9 zex 11588 . . . . . 6 ℤ ∈ V
109ssex 4936 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ∈ V)
11 elpwg 4305 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝑍 ∈ 𝒫 ℤ ↔ 𝑍 ⊆ ℤ))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑍 ∈ 𝒫 ℤ ↔ 𝑍 ⊆ ℤ))
1312ibir 257 . . 3 (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ∈ 𝒫 ℤ)
1413adantr 466 . 2 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑍 ∈ 𝒫 ℤ)
15 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → 0 ∈ ℕ0)
17 df-nel 3047 . . . 4 (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
18 ssrab2 3836 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ ℕ
19 nnssnn0 11497 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
2018, 19sstri 3761 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ ℕ0
21 nnuz 11925 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2218, 21sseqtri 3786 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ (ℤ‘1)
23 fissn0dvdsn0 15541 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ≠ ∅)
24233expa 1111 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ≠ ∅)
25 infssuzcl 11975 . . . . . 6 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛})
2622, 24, 25sylancr 575 . . . . 5 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛})
2720, 26sseldi 3750 . . . 4 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
2817, 27sylan2br 582 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
2916, 28ifclda 4259 . 2 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
302, 8, 14, 29fvmptd 6430 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wnel 3046  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  Fincfn 8109  infcinf 8503  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  cdvds 15189  lcmclcmf 15510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843  df-dvds 15190  df-lcmf 15512
This theorem is referenced by:  lcmfn0val  15544  lcmfpr  15548
  Copyright terms: Public domain W3C validator