MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfval 15963
Description: Value of the lcm function. (lcm𝑍) is the least common multiple of the integers contained in the finite subset of integers 𝑍. If at least one of the elements of 𝑍 is 0, the result is defined conventionally as 0. (Contributed by AV, 21-Apr-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfval ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem lcmfval
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lcmf 15933 . 2 lcm = (𝑧 ∈ 𝒫 ℤ ↦ if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
2 eleq2 2904 . . 3 (𝑧 = 𝑍 → (0 ∈ 𝑧 ↔ 0 ∈ 𝑍))
3 raleq 3396 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑚𝑧 𝑚𝑛 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛))
43rabbidv 3465 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛})
54infeq1d 8938 . . 3 (𝑧 = 𝑍 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ))
62, 5ifbieq2d 4475 . 2 (𝑧 = 𝑍 → if(0 ∈ 𝑧, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑧 𝑚𝑛}, ℝ, < )) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
7 zex 11987 . . . . . 6 ℤ ∈ V
87ssex 5211 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ∈ V)
9 elpwg 4525 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝑍 ∈ 𝒫 ℤ ↔ 𝑍 ⊆ ℤ))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑍 ∈ 𝒫 ℤ ↔ 𝑍 ⊆ ℤ))
1110ibir 271 . . 3 (𝑍 ⊆ ℤ → 𝑍 ∈ 𝒫 ℤ)
1211adantr 484 . 2 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑍 ∈ 𝒫 ℤ)
13 0nn0 11909 . . . 4 0 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∈ 𝑍) → 0 ∈ ℕ0)
15 df-nel 3119 . . . 4 (0 ∉ 𝑍 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑍)
16 ssrab2 4042 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ ℕ
17 nnssnn0 11897 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
1816, 17sstri 3962 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ ℕ0
19 nnuz 12278 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2016, 19sseqtri 3989 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ (ℤ‘1)
21 fissn0dvdsn0 15962 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ≠ ∅)
22213expa 1115 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ≠ ∅)
23 infssuzcl 12329 . . . . . 6 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛})
2420, 22, 23sylancr 590 . . . . 5 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛})
2518, 24sseldi 3951 . . . 4 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ 0 ∉ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
2615, 25sylan2br 597 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) ∧ ¬ 0 ∈ 𝑍) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
2714, 26ifclda 4484 . 2 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
281, 6, 12, 27fvmptd3 6782 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) = if(0 ∈ 𝑍, 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wnel 3118  wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450  𝒫 cpw 4522   class class class wbr 5052  cfv 6343  Fincfn 8505  infcinf 8902  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   < clt 10673  cn 11634  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240  cdvds 15607  lcmclcmf 15931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260  df-dvds 15608  df-lcmf 15933
This theorem is referenced by:  lcmfn0val  15965  lcmfpr  15969
  Copyright terms: Public domain W3C validator