Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvonmbl 42782
Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥𝐴 and 𝑥𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isvonmbl.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
isvonmbl (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl
StepHypRef Expression
1 isvonmbl.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21dmvon 42750 . . 3 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
32eleq2d 2902 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
41ovnome 42717 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5 eqid 2825 . . 3 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
64, 5caragenel 42639 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7 elpwi 4553 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
87adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
91unidmovn 42757 . . . . . . 7 (𝜑 dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
118, 10sseqtrd 4010 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
1211ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
13 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
149eqcomd 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1613, 15sseqtrd 4010 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
17 ovex 7184 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
1817ssex 5221 . . . . . . . 8 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19 elpwg 4547 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2216, 21mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋))
2322ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)))
2412, 23impbid 213 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
259pweqd 4546 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
26 raleq 3410 . . . 4 (𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2824, 27anbi12d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
293, 6, 283bitrd 306 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499  cdif 3936  cin 3938  wss 3939  𝒫 cpw 4541   cuni 4836  dom cdm 5553  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  Fincfn 8501  cr 10528   +𝑒 cxad 12498  CaraGenccaragen 42635  voln*covoln 42680  volncvoln 42682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-subg 18208  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-drng 19426  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470  df-cmp 21911  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-sumge0 42507  df-ome 42634  df-caragen 42636  df-ovoln 42681  df-voln 42683
This theorem is referenced by:  vonvolmbl  42805
  Copyright terms: Public domain W3C validator