Theorem isvonmbl 46643

Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥 ∩ 𝐴 and 𝑥 ∖ 𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
isvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
isvonmbl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isvonmbl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	dmvon 46611	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
3	2	eleq2d 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
4	1	ovnome 46578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
6	4, 5	caragenel 46500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7		elpwi 4573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
9	1	unidmovn 46618	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → ∪ dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
11	8, 10	sseqtrd 3986	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
14	9	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
16	13, 15	sseqtrd 3986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
17		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
18	17	ssex 5279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19		elpwg 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
22	16, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)))
24	12, 23	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
25	9	pweqd 4583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
26		raleq 3298	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
28	24, 27	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
29	3, 6, 28	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℝcr 11074   +_𝑒 cxad 13077  CaraGenccaragen 46496  voln*covoln 46541  volncvoln 46543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-sumge0 46368  df-ome 46495  df-caragen 46497  df-ovoln 46542  df-voln 46544

This theorem is referenced by:  vonvolmbl  46666