Theorem isvonmbl 47915

Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥 ∩ 𝐴 and 𝑥 ∖ 𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
isvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
isvonmbl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isvonmbl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	dmvon 47883	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
3	2	eleq2d 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
4	1	ovnome 47850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
6	4, 5	caragenel 47772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7		elpwi 4567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
9	1	unidmovn 47890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → ∪ dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
11	8, 10	sseqtrd 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
12	11	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
13		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
14	9	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
16	13, 15	sseqtrd 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
17		ovex 7482	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
18	17	ssex 5287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19		elpwg 4563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
22	16, 21	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋))
23	22	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)))
24	12, 23	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
25	9	pweqd 4577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
26		raleq 3320	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
27	25, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
28	24, 27	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
29	3, 6, 28	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5656  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  Fincfn 9009  ℝcr 11236   +_e cxad 13277  CaraGenccaragen 47768  voln*covoln 47813  volncvoln 47815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cc 10550  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-prod 16114  df-rest 17634  df-topgen 17655  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-top 23256  df-topon 23273  df-bases 23308  df-cmp 23749  df-ovol 25829  df-vol 25830  df-sumge0 47640  df-ome 47767  df-caragen 47769  df-ovoln 47814  df-voln 47816

This theorem is used by:  vonvolmbl  47938