Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvonmbl 46594
Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥𝐴 and 𝑥𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isvonmbl.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
isvonmbl (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl
StepHypRef Expression
1 isvonmbl.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21dmvon 46562 . . 3 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
32eleq2d 2825 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
41ovnome 46529 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5 eqid 2735 . . 3 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
64, 5caragenel 46451 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7 elpwi 4612 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
91unidmovn 46569 . . . . . . 7 (𝜑 dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
118, 10sseqtrd 4036 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
1211ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
149eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1613, 15sseqtrd 4036 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
17 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
1817ssex 5327 . . . . . . . 8 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19 elpwg 4608 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2216, 21mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋))
2322ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)))
2412, 23impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
259pweqd 4622 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
26 raleq 3321 . . . 4 (𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2824, 27anbi12d 632 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
293, 6, 283bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  cr 11152   +𝑒 cxad 13150  CaraGenccaragen 46447  voln*covoln 46492  volncvoln 46494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-sumge0 46319  df-ome 46446  df-caragen 46448  df-ovoln 46493  df-voln 46495
This theorem is referenced by:  vonvolmbl  46617
  Copyright terms: Public domain W3C validator