Theorem isvonmbl 46620

Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥 ∩ 𝐴 and 𝑥 ∖ 𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
isvonmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
isvonmbl	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isvonmbl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	dmvon 46588	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
3	2	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
4	1	ovnome 46555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
6	4, 5	caragenel 46477	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7		elpwi 4560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
9	1	unidmovn 46595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → ∪ dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
11	8, 10	sseqtrd 3974	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
14	9	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
16	13, 15	sseqtrd 3974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
17		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
18	17	ssex 5263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19		elpwg 4556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋)))
22	16, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)))
24	12, 23	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)))
25	9	pweqd 4570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
26		raleq 3287	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
28	24, 27	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
29	3, 6, 28	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  ℝcr 11027   +_𝑒 cxad 13030  CaraGenccaragen 46473  voln*covoln 46518  volncvoln 46520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cmp 23290  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-sumge0 46345  df-ome 46472  df-caragen 46474  df-ovoln 46519  df-voln 46521

This theorem is referenced by:  vonvolmbl  46643