Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmssmscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmssmscld 23952
 Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cmssmscld ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem cmssmscld
StepHypRef Expression
1 cmsss.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2824 . . . . 5 ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
31, 2msmet 23062 . . . 4 (𝑀 ∈ MetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5 xpss12 5558 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
65anidms 570 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
763ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
87resabs1d 5872 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
91sseq2i 3982 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋𝐴 ⊆ (Base‘𝑀))
10 fvex 6672 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) ∈ V
1110ssex 5212 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
129, 11sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ V)
14 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
15 eqid 2824 . . . . . . . 8 (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
1614, 15ressds 16684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
1713, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
1817reseq1d 5840 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
198, 18eqtrd 2859 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
20 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2824 . . . . . . . 8 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
2220, 21iscms 23947 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
2314, 1ressbas2 16553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑋𝐴 = (Base‘𝐾))
2423adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
2524eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → (Base‘𝐾) = 𝐴)
2625sqxpeqd 5575 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = (𝐴 × 𝐴))
2726reseq2d 5841 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
2825fveq2d 6663 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → (CMet‘(Base‘𝐾)) = (CMet‘𝐴))
2927, 28eleq12d 2910 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
3029biimpd 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
3130expimpd 457 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
3222, 31syl5bi 245 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (𝐾 ∈ CMetSp → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
3332imp 410 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
34333adant1 1127 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
3519, 34eqeltrd 2916 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
36 eqid 2824 . . . 4 (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3736metsscmetcld 23917 . . 3 ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
384, 35, 37syl2anc 587 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
39 cmsss.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
4039, 1, 2mstopn 23057 . . . 4 (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
41403ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4241fveq2d 6663 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
4338, 42eleqtrrd 2919 1 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑋𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   × cxp 5541   ↾ cres 5545  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481   ↾s cress 16482  distcds 16572  TopOpenctopn 16693  Metcmet 20526  MetOpencmopn 20530  Clsdccld 21619  MetSpcms 22923  CMetccmet 23856  CMetSpccms 23934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ico 12739  df-icc 12740  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-ds 16585  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-haus 21918  df-fil 22449  df-flim 22542  df-xms 22925  df-ms 22926  df-cfil 23857  df-cmet 23859  df-cms 23937 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator