MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmssmscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmssmscld 24867
Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cmssmscld ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))

Proof of Theorem cmssmscld
StepHypRef Expression
1 cmsss.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2733 . . . . 5 ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
31, 2msmet 23963 . . . 4 (𝑀 ∈ MetSp β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
433ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 xpss12 5692 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
65anidms 568 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
87resabs1d 6013 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
91sseq2i 4012 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1110ssex 5322 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝐴 ∈ V)
129, 11sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ V)
14 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜π‘€)
1614, 15ressds 17355 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
1713, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
1817reseq1d 5981 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
198, 18eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)))
2220, 21iscms 24862 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
2314, 1ressbas2 17182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
2524eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (Baseβ€˜πΎ) = 𝐴)
2625sqxpeqd 5709 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)) = (𝐴 Γ— 𝐴))
2726reseq2d 5982 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
2825fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) = (CMetβ€˜π΄))
2927, 28eleq12d 2828 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3029biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3130expimpd 455 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3222, 31biimtrid 241 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ (𝐾 ∈ CMetSp β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3332imp 408 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄))
34333adant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄))
3519, 34eqeltrd 2834 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄))
36 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
3736metsscmetcld 24832 . . 3 ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
384, 35, 37syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
39 cmsss.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
4039, 1, 2mstopn 23958 . . . 4 (𝑀 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
41403ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
4241fveq2d 6896 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (Clsdβ€˜π½) = (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
4338, 42eleqtrrd 2837 1 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  distcds 17206  TopOpenctopn 17367  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934  Clsdccld 22520  MetSpcms 23824  CMetccmet 24771  CMetSpccms 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-haus 22819  df-fil 23350  df-flim 23443  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cfil 24772  df-cmet 24774  df-cms 24852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator