Theorem cmssmscld 25256

Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmsss.h	⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
cmsss.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cmssmscld	⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem cmssmscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsss.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
3	1, 2	msmet 24351	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		xpss12 5655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6	5	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	7	resabs1d 5981	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
9	1	sseq2i 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
12	9, 11	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ V)
14		cmsss.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
15		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
16	14, 15	ressds 17379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
17	13, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
18	17	reseq1d 5951	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
19	8, 18	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
20		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
22	20, 21	iscms 25251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
23	14, 1	ressbas2 17214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 = (Base‘𝐾))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
25	24	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (Base‘𝐾) = 𝐴)
26	25	sqxpeqd 5672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = (𝐴 × 𝐴))
27	26	reseq2d 5952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
28	25	fveq2d 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (CMet‘(Base‘𝐾)) = (CMet‘𝐴))
29	27, 28	eleq12d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
30	29	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
31	30	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
32	22, 31	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐾 ∈ CMetSp → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
33	32	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
34	33	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
35	19, 34	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
36		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
37	36	metsscmetcld 25221	. . 3 ⊢ ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
38	4, 35, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
39		cmsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
40	39, 1, 2	mstopn 24346	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
41	40	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
42	41	fveq2d 6864	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
43	38, 42	eleqtrrd 2832	1 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916   × cxp 5638   ↾ cres 5642  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  distcds 17235  TopOpenctopn 17390  Metcmet 21256  MetOpencmopn 21260  Clsdccld 22909  MetSpcms 24212  CMetccmet 25160  CMetSpccms 25238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ico 13318  df-icc 13319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-ds 17248  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-haus 23208  df-fil 23739  df-flim 23832  df-xms 24214  df-ms 24215  df-cfil 25161  df-cmet 25163  df-cms 25241

This theorem is referenced by: (None)