Theorem cmssmscld 24525

Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmsss.h	⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
cmsss.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cmssmscld	⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem cmssmscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsss.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
3	1, 2	msmet 23621	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		xpss12 5605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6	5	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7	6	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	7	resabs1d 5921	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
9	1	sseq2i 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
12	9, 11	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ V)
14		cmsss.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
16	14, 15	ressds 17131	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
17	13, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
18	17	reseq1d 5889	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
19	8, 18	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
22	20, 21	iscms 24520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
23	14, 1	ressbas2 16960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 = (Base‘𝐾))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
25	24	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (Base‘𝐾) = 𝐴)
26	25	sqxpeqd 5622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = (𝐴 × 𝐴))
27	26	reseq2d 5890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
28	25	fveq2d 6775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (CMet‘(Base‘𝐾)) = (CMet‘𝐴))
29	27, 28	eleq12d 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
30	29	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
31	30	expimpd 454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
32	22, 31	syl5bi 241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐾 ∈ CMetSp → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
33	32	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
34	33	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
35	19, 34	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
36		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
37	36	metsscmetcld 24490	. . 3 ⊢ ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
38	4, 35, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
39		cmsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
40	39, 1, 2	mstopn 23616	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
41	40	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
42	41	fveq2d 6775	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
43	38, 42	eleqtrrd 2844	1 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892   × cxp 5588   ↾ cres 5592  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923   ↾_s cress 16952  distcds 16982  TopOpenctopn 17143  Metcmet 20594  MetOpencmopn 20598  Clsdccld 22178  MetSpcms 23482  CMetccmet 24429  CMetSpccms 24507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ico 13096  df-icc 13097  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-ds 16995  df-rest 17144  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-fg 20606  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-nei 22260  df-haus 22477  df-fil 23008  df-flim 23101  df-xms 23484  df-ms 23485  df-cfil 24430  df-cmet 24432  df-cms 24510

This theorem is referenced by: (None)