Theorem cmssmscld 25306

Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmsss.h	⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
cmsss.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cmssmscld	⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem cmssmscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsss.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
3	1, 2	msmet 24401	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		xpss12 5639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6	5	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	7	resabs1d 5967	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
9	1	sseq2i 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
12	9, 11	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ V)
14		cmsss.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
16	14, 15	ressds 17330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
17	13, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
18	17	reseq1d 5937	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
19	8, 18	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
20		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
22	20, 21	iscms 25301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
23	14, 1	ressbas2 17165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 = (Base‘𝐾))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
25	24	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (Base‘𝐾) = 𝐴)
26	25	sqxpeqd 5656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = (𝐴 × 𝐴))
27	26	reseq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
28	25	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (CMet‘(Base‘𝐾)) = (CMet‘𝐴))
29	27, 28	eleq12d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
30	29	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
31	30	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
32	22, 31	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐾 ∈ CMetSp → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
33	32	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
34	33	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
35	19, 34	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
36		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
37	36	metsscmetcld 25271	. . 3 ⊢ ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
38	4, 35, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
39		cmsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
40	39, 1, 2	mstopn 24396	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
41	40	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
42	41	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
43	38, 42	eleqtrrd 2839	1 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  distcds 17186  TopOpenctopn 17341  Metcmet 21295  MetOpencmopn 21299  Clsdccld 22960  MetSpcms 24262  CMetccmet 25210  CMetSpccms 25288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ico 13267  df-icc 13268  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-ds 17199  df-rest 17342  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-haus 23259  df-fil 23790  df-flim 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-cfil 25211  df-cmet 25213  df-cms 25291

This theorem is referenced by: (None)