MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmssmscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmssmscld 24717
Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cmssmscld ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))

Proof of Theorem cmssmscld
StepHypRef Expression
1 cmsss.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2737 . . . . 5 ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
31, 2msmet 23813 . . . 4 (𝑀 ∈ MetSp β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
433ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 xpss12 5649 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
65anidms 568 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
87resabs1d 5969 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
91sseq2i 3974 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1110ssex 5279 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝐴 ∈ V)
129, 11sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ V)
14 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
15 eqid 2737 . . . . . . . 8 (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜π‘€)
1614, 15ressds 17292 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
1713, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
1817reseq1d 5937 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
198, 18eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
20 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)))
2220, 21iscms 24712 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
2314, 1ressbas2 17121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
2524eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (Baseβ€˜πΎ) = 𝐴)
2625sqxpeqd 5666 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)) = (𝐴 Γ— 𝐴))
2726reseq2d 5938 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
2825fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) = (CMetβ€˜π΄))
2927, 28eleq12d 2832 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3029biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) β†’ (((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3130expimpd 455 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3222, 31biimtrid 241 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ (𝐾 ∈ CMetSp β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)))
3332imp 408 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄))
34333adant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄))
3519, 34eqeltrd 2838 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄))
36 eqid 2737 . . . 4 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
3736metsscmetcld 24682 . . 3 ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
384, 35, 37syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
39 cmsss.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
4039, 1, 2mstopn 23808 . . . 4 (𝑀 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
41403ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
4241fveq2d 6847 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ (Clsdβ€˜π½) = (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
4338, 42eleqtrrd 2841 1 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  distcds 17143  TopOpenctopn 17304  Metcmet 20785  MetOpencmopn 20789  Clsdccld 22370  MetSpcms 23674  CMetccmet 24621  CMetSpccms 24699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-icc 13272  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-ds 17156  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-haus 22669  df-fil 23200  df-flim 23293  df-xms 23676  df-ms 23677  df-cfil 24622  df-cmet 24624  df-cms 24702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator