Theorem cmssmscld 25478

Description: The restriction of a metric space is closed if it is complete. (Contributed by AV, 9-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmsss.h	⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
cmsss.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cmssmscld	⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem cmssmscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsss.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
3	1, 2	msmet 24583	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
5		xpss12 5677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
6	5	anidms 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7	6	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	7	resabs1d 6008	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
9	1	sseq2i 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑀))
10		fvex 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
11	10	ssex 5292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
12	9, 11	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ V)
14		cmsss.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
15		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
16	14, 15	ressds 17463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
17	13, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
18	17	reseq1d 5978	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
19	8, 18	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
20		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
22	20, 21	iscms 25473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
23	14, 1	ressbas2 17298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 = (Base‘𝐾))
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
25	24	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (Base‘𝐾) = 𝐴)
26	25	sqxpeqd 5694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = (𝐴 × 𝐴))
27	26	reseq2d 5979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
28	25	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (CMet‘(Base‘𝐾)) = (CMet‘𝐴))
29	27, 28	eleq12d 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
30	29	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ MetSp) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
31	30	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
32	22, 31	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐾 ∈ CMetSp → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)))
33	32	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
34	33	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
35	19, 34	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴))
36		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
37	36	metsscmetcld 25443	. . 3 ⊢ ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
38	4, 35, 37	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
39		cmsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
40	39, 1, 2	mstopn 24578	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
41	40	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
42	41	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
43	38, 42	eleqtrrd 2872	1 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ CMetSp) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   × cxp 5660   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  distcds 17319  TopOpenctopn 17474  Metcmet 21477  MetOpencmopn 21481  Clsdccld 23142  MetSpcms 24444  CMetccmet 25382  CMetSpccms 25460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ico 13378  df-icc 13379  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-ds 17332  df-rest 17475  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-haus 23441  df-fil 23972  df-flim 24065  df-xms 24446  df-ms 24447  df-cfil 25383  df-cmet 25385  df-cms 25463

This theorem is referenced by: (None)