Theorem ssmclslem 33506

Description: Lemma for ssmcls 33508. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c	⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
mclsval.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
ssmclslem.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ssmclslem	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))

Proof of Theorem ssmclslem

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑜 𝑝 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐))
3	2	alrimiv 1933	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐(((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐))
4		ssintab 4901	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐)))} ↔ ∀𝑐(((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐))) → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐))
5	3, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐)))})
6		mclsval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
7		mclsval.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
8		mclsval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
9		mclsval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
10		mclsval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
11		mclsval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
12		ssmclslem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
13		eqid 2739	. . 3 ⊢ (mAx‘𝑇) = (mAx‘𝑇)
14		eqid 2739	. . 3 ⊢ (mSubst‘𝑇) = (mSubst‘𝑇)
15		eqid 2739	. . 3 ⊢ (mVars‘𝑇) = (mVars‘𝑇)
16	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	mclsval 33504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐶𝐵) = ∩ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚∀𝑜∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇) → ∀𝑠 ∈ ran (mSubst‘𝑇)(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑚𝑦 → (((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑥))) × ((mVars‘𝑇)‘(𝑠‘(𝐻‘𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠‘𝑝) ∈ 𝑐)))})
17	5, 16	sseqtrrd 3966	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {cab 2716  ∀wral 3065   ∪ cun 3889   ⊆ wss 3891  ⟨cotp 4574  ∩ cint 4884   class class class wbr 5078   × cxp 5586  ran crn 5589   “ cima 5591  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  mAxcmax 33406  mExcmex 33408  mDVcmdv 33409  mVarscmvrs 33410  mSubstcmsub 33412  mVHcmvh 33413  mFScmfs 33417  mClscmcls 33418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-word 14199  df-concat 14255  df-s1 14282  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-frmd 18469  df-mrex 33427  df-mex 33428  df-mrsub 33431  df-msub 33432  df-mvh 33433  df-mpst 33434  df-msr 33435  df-msta 33436  df-mfs 33437  df-mcls 33438

This theorem is referenced by:  vhmcls  33507  ssmcls  33508