Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isubgr3stgrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isubgr3stgrlem4 47871
Description: Lemma 4 for isubgr3stgr 47877. (Contributed by AV, 24-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isubgr3stgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
isubgr3stgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isubgr3stgrlem4 ((𝐴 = 𝑋 ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = {0, 𝑧})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑁   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq2 4738 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐹𝐵) → {0, 𝑧} = {0, (𝐹𝐵)})
21eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑧 = (𝐹𝐵) → ((𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, 𝑧} ↔ (𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, (𝐹𝐵)}))
3 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊𝐹:𝐶𝑊)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → 𝐹:𝐶𝑊)
54adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → 𝐹:𝐶𝑊)
6 simpr3 1195 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → 𝐵𝐶)
75, 6ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑊)
8 isubgr3stgr.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
9 isubgr3stgr.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
109fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
11 isubgr3stgr.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 ∈ ℕ0
12 stgrvtx 47856 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘(StarGr‘𝑁)) = (0...𝑁)
148, 10, 133eqtri 2766 . . . . . . . . 9 𝑊 = (0...𝑁)
1514eleq2i 2830 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ 𝑊 ↔ (𝐹𝐵) ∈ (0...𝑁))
16 fz0sn0fz1 13681 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
1711, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁))
1817eleq2i 2830 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ({0} ∪ (1...𝑁)))
19 elun 4162 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ ({0} ∪ (1...𝑁)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ {0} ∨ (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
20 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐵) ∈ V
2120elsn 4645 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵) ∈ {0} ↔ (𝐹𝐵) = 0)
2221orbi1i 913 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ {0} ∨ (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)) ↔ ((𝐹𝐵) = 0 ∨ (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
2319, 22bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ ({0} ∪ (1...𝑁)) ↔ ((𝐹𝐵) = 0 ∨ (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
2415, 18, 233bitri 297 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵) ∈ 𝑊 ↔ ((𝐹𝐵) = 0 ∨ (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
25 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑋) = 0 → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝐵) = 0))
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝐵) = 0))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝐵) = 0))
28 f1of1 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊𝐹:𝐶1-1𝑊)
29 dff14a 7289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐶1-1𝑊 ↔ (𝐹:𝐶𝑊 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏))))
30 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → 𝑎 = 𝑋)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → 𝑏 = 𝐵)
3230, 31neeq12d 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → (𝑎𝑏𝑋𝐵))
33 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑋 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑋))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑋))
35 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
3734, 36neeq12d 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → ((𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵)))
3832, 37imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑋𝑏 = 𝐵) → ((𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)) ↔ (𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵))))
3938rspc2gv 3631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝐶𝐵𝐶) → (∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)) → (𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵))))
40393adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → (∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)) → (𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵))))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵)) → (𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵)))
42 eqneqall 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑋) = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
4342eqcoms 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
4541, 44syl6com 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝐵 → ((𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
46453ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → ((𝑋𝐵 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
4740, 46syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → (∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
4847adantld 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → ((𝐹:𝐶𝑊 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏))) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
4929, 48biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → (𝐹:𝐶1-1𝑊 → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
5028, 49syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 → ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))))
5251imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐹𝐵) = (𝐹𝑋) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
5327, 52sylbird 260 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐹𝐵) = 0 → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
54 idd 24 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
5553, 54jaod 859 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (((𝐹𝐵) = 0 ∨ (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
5624, 55biimtrid 242 . . . . . 6 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐹𝐵) ∈ 𝑊 → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁)))
577, 56mpd 15 . . . . 5 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (1...𝑁))
58 f1ofn 6849 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝐶)
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → 𝐹 Fn 𝐶)
60 3simpc 1149 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → (𝑋𝐶𝐵𝐶))
6159, 60anim12i 613 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹 Fn 𝐶 ∧ (𝑋𝐶𝐵𝐶)))
62 3anass 1094 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐶𝑋𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐹 Fn 𝐶 ∧ (𝑋𝐶𝐵𝐶)))
6361, 62sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹 Fn 𝐶𝑋𝐶𝐵𝐶))
64 fnimapr 6991 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐶𝑋𝐶𝐵𝐶) → (𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {(𝐹𝑋), (𝐹𝐵)})
6563, 64syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {(𝐹𝑋), (𝐹𝐵)})
66 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → (𝐹𝑋) = 0)
6766adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹𝑋) = 0)
6867preq1d 4743 . . . . . 6 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → {(𝐹𝑋), (𝐹𝐵)} = {0, (𝐹𝐵)})
6965, 68eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → (𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, (𝐹𝐵)})
702, 57, 69rspcedvdw 3624 . . . 4 (((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, 𝑧})
7170ex 412 . . 3 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, 𝑧}))
72 neeq1 3000 . . . . 5 (𝐴 = 𝑋 → (𝐴𝐵𝑋𝐵))
73 eleq1 2826 . . . . 5 (𝐴 = 𝑋 → (𝐴𝐶𝑋𝐶))
7472, 733anbi12d 1436 . . . 4 (𝐴 = 𝑋 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶)))
75 preq1 4737 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑋 → {𝐴, 𝐵} = {𝑋, 𝐵})
7675imaeq2d 6079 . . . . . 6 (𝐴 = 𝑋 → (𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = (𝐹 “ {𝑋, 𝐵}))
7776eqeq1d 2736 . . . . 5 (𝐴 = 𝑋 → ((𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = {0, 𝑧} ↔ (𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, 𝑧}))
7877rexbidv 3176 . . . 4 (𝐴 = 𝑋 → (∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = {0, 𝑧} ↔ ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, 𝑧}))
7974, 78imbi12d 344 . . 3 (𝐴 = 𝑋 → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = {0, 𝑧}) ↔ ((𝑋𝐵𝑋𝐶𝐵𝐶) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝑋, 𝐵}) = {0, 𝑧})))
8071, 79imbitrrid 246 . 2 (𝐴 = 𝑋 → ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = {0, 𝑧})))
81803imp 1110 1 ((𝐴 = 𝑋 ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ∃𝑧 ∈ (1...𝑁)(𝐹 “ {𝐴, 𝐵}) = {0, 𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cun 3960  {csn 4630  {cpr 4632  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1wf1 6559  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  0cn0 12523  ...cfz 13543  Vtxcvtx 29027  Edgcedg 29078   NeighbVtx cnbgr 29363   ClNeighbVtx cclnbgr 47742  StarGrcstgr 47853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-edgf 29018  df-vtx 29029  df-stgr 47854
This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem6  47873
  Copyright terms: Public domain W3C validator