Theorem sticksstones5 42132

Description: Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones5.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones5.3	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} = {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}
4		sticksstones5.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
5	1, 2, 3, 4	sticksstones4 42131	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾})
6		hasheni 14384	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
8		fzfid 14011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9	2	nn0zd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		hashbc 14489	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
12	11	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = ((♯‘(1...𝑁))C𝐾))
13		hashfz1 14382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	14	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (𝑁C𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = (𝑁C𝐾))
17	7, 16	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∀wral 3059  {crab 3433  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ≈ cen 8981  Fincfn 8984  1c1 11154   < clt 11293  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  Ccbc 14338  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  sticksstones14  42142