Theorem sticksstones5 42841

Description: Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones5.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones5.3	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} = {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}
4		sticksstones5.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
5	1, 2, 3, 4	sticksstones4 42840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾})
6		hasheni 14384	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
8		fzfid 14009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9	2	nn0zd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		hashbc 14490	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
12	11	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = ((♯‘(1...𝑁))C𝐾))
13		hashfz1 14382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
14	1, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	14	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (𝑁C𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = (𝑁C𝐾))
17	7, 16	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∀wral 3085  {crab 3423  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ≈ cen 8940  Fincfn 8943  1c1 11101   < clt 11243  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ...cfz 13535  Ccbc 14338  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  sticksstones14  42851