Theorem sticksstones5 42107

Description: Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones5.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones5.3	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} = {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}
4		sticksstones5.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
5	1, 2, 3, 4	sticksstones4 42106	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾})
6		hasheni 14397	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
8		fzfid 14024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9	2	nn0zd 12665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		hashbc 14502	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
11	8, 9, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
12	11	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = ((♯‘(1...𝑁))C𝐾))
13		hashfz1 14395	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	14	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (𝑁C𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = (𝑁C𝐾))
17	7, 16	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  {crab 3443  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  1c1 11185   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  Ccbc 14351  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  sticksstones14  42117