Theorem sticksstones5 40414

Description: Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones5.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones5.3	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} = {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}
4		sticksstones5.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
5	1, 2, 3, 4	sticksstones4 40413	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾})
6		hasheni 14164	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
8		fzfid 13795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9	2	nn0zd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		hashbc 14266	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
12	11	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = ((♯‘(1...𝑁))C𝐾))
13		hashfz1 14162	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	14	oveq1d 7353	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (𝑁C𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = (𝑁C𝐾))
17	7, 16	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2713  ∀wral 3061  {crab 3403  𝒫 cpw 4548   class class class wbr 5093  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338   ≈ cen 8802  Fincfn 8805  1c1 10974   < clt 11111  ℕ₀cn0 12335  ℤcz 12421  ...cfz 13341  Ccbc 14118  ♯chash 14146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-dju 9759  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-fz 13342  df-seq 13824  df-fac 14090  df-bc 14119  df-hash 14147

This theorem is referenced by:  sticksstones14  40424