Theorem sticksstones5 40034

Description: Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones5.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones5.3	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} = {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}
4		sticksstones5.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
5	1, 2, 3, 4	sticksstones4 40033	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾})
6		hasheni 13990	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾} → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
8		fzfid 13621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9	2	nn0zd 12353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
10		hashbc 14093	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
11	8, 9, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}))
12	11	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = ((♯‘(1...𝑁))C𝐾))
13		hashfz1 13988	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
15	14	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁))C𝐾) = (𝑁C𝐾))
16	12, 15	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁) ∣ (♯‘𝑠) = 𝐾}) = (𝑁C𝐾))
17	7, 16	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  {crab 3067  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≈ cen 8688  Fincfn 8691  1c1 10803   < clt 10940  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  Ccbc 13944  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  sticksstones14  40044