Theorem cnfldstrOLD 21399

Description: Obsolete version of cnfldstr 21384 as of 27-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstrOLD	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnfldOLD 21398	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17355	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12362	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17398	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12862	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12747	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17412	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12337	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12367	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12759	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12751	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17431	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17194	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12343	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12751	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17441	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17192	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12436	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12759	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17191	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12467	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17191	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5169	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3961  {csn 4631  {ctp 4635  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  9c9 12326  ;cdc 12731  ∗ccj 15132  abscabs 15270   Struct cstr 17180  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  *_𝑟cstv 17300  TopSetcts 17304  lecple 17305  distcds 17307  UnifSetcunif 17308  MetOpencmopn 21372  metUnifcmetu 21373  ℂ_fldccnfld 21382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by:  cnfldexOLD  21400  cnfldbasOLD  21401  cnfldaddOLD  21402  cnfldmulOLD  21403  cnfldcjOLD  21404  cnfldtsetOLD  21405  cnfldleOLD  21406  cnflddsOLD  21407  cnfldunifOLD  21408  cnfldfunOLD  21409