Theorem cnfldstrOLD 21364

Description: Obsolete version of cnfldstr 21349 as of 27-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstrOLD	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnfldOLD 21363	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17266	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12273	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17309	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12769	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12654	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17323	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12248	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12278	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12666	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12658	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17342	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17124	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12254	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12658	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17352	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17122	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12342	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12666	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17121	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12373	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17121	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5107	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3888  {csn 4568  {ctp 4572  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   ≤ cle 11174   − cmin 11371  2c2 12230  3c3 12231  4c4 12232  9c9 12237  ;cdc 12638  ∗ccj 15052  abscabs 15190   Struct cstr 17110  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  *_𝑟cstv 17216  TopSetcts 17220  lecple 17221  distcds 17223  UnifSetcunif 17224  MetOpencmopn 21337  metUnifcmetu 21338  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cnfldexOLD  21365  cnfldbasOLD  21366  cnfldaddOLD  21367  cnfldmulOLD  21368  cnfldcjOLD  21369  cnfldtsetOLD  21370  cnfldleOLD  21371  cnflddsOLD  21372  cnfldunifOLD  21373  cnfldfunOLD  21374