Theorem cnfldstrOLD 21257

Description: Obsolete version of cnfldstr 21242 as of 27-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstrOLD	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnfldOLD 21256	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17248	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12260	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17291	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12756	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12641	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17305	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12433	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12235	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12265	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12653	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12645	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17324	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17106	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12645	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17334	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17104	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12329	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12653	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17103	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12360	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17103	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5123	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3909  {csn 4585  {ctp 4589  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   ≤ cle 11185   − cmin 11381  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  9c9 12224  ;cdc 12625  ∗ccj 15038  abscabs 15176   Struct cstr 17092  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  *_𝑟cstv 17198  TopSetcts 17202  lecple 17203  distcds 17205  UnifSetcunif 17206  MetOpencmopn 21230  metUnifcmetu 21231  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  cnfldexOLD  21258  cnfldbasOLD  21259  cnfldaddOLD  21260  cnfldmulOLD  21261  cnfldcjOLD  21262  cnfldtsetOLD  21263  cnfldleOLD  21264  cnflddsOLD  21265  cnfldunifOLD  21266  cnfldfunOLD  21267