Theorem cnfldstrOLD 21332

Description: Obsolete version of cnfldstr 21317 as of 27-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstrOLD	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnfldOLD 21331	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17323	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12338	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17366	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12839	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12724	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17380	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12313	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12343	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12736	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12728	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17399	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17179	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12319	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12728	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17409	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17177	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12412	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12736	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17176	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12443	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17176	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5140	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3924  {csn 4601  {ctp 4605  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   ≤ cle 11270   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  9c9 12302  ;cdc 12708  ∗ccj 15115  abscabs 15253   Struct cstr 17165  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  *_𝑟cstv 17273  TopSetcts 17277  lecple 17278  distcds 17280  UnifSetcunif 17281  MetOpencmopn 21305  metUnifcmetu 21306  ℂ_fldccnfld 21315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-cnfld 21316

This theorem is referenced by:  cnfldexOLD  21333  cnfldbasOLD  21334  cnfldaddOLD  21335  cnfldmulOLD  21336  cnfldcjOLD  21337  cnfldtsetOLD  21338  cnfldleOLD  21339  cnflddsOLD  21340  cnfldunifOLD  21341  cnfldfunOLD  21342