Theorem cnfldstrOLD 21313

Description: Obsolete version of cnfldstr 21298 as of 27-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstrOLD	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnfldOLD 21312	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17293	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12343	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17336	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12841	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12726	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17350	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12318	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12348	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12738	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12730	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17369	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17132	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12324	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12730	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17379	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17130	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12417	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12738	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17129	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12448	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17129	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5170	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3942  {csn 4630  {ctp 4634  ⟨cop 4636   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6549  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   ≤ cle 11281   − cmin 11476  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  9c9 12307  ;cdc 12710  ∗ccj 15079  abscabs 15217   Struct cstr 17118  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  *_𝑟cstv 17238  TopSetcts 17242  lecple 17243  distcds 17245  UnifSetcunif 17246  MetOpencmopn 21286  metUnifcmetu 21287  ℂ_fldccnfld 21296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219  ax-mulf 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-cnfld 21297

This theorem is referenced by:  cnfldexOLD  21314  cnfldbasOLD  21315  cnfldaddOLD  21316  cnfldmulOLD  21317  cnfldcjOLD  21318  cnfldtsetOLD  21319  cnfldleOLD  21320  cnflddsOLD  21321  cnfldunifOLD  21322  cnfldfunOLD  21323