Theorem wrdco 14540

Description: Mapping a word by a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem wrdco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		wrdf 14218	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
4		fco 6621	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
6		iswrdi 14217	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10870  ..^cfzo 13379  ♯chash 14040  Word cword 14213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-hash 14041  df-word 14214

This theorem is referenced by:  cshco  14545  swrdco  14546  frmdgsum  18497  frmdss2  18498  frmdup1  18499  frmdup3lem  18501  efginvrel2  19329  efginvrel1  19330  frgp0  19362  frgpinv  19366  frgpuplem  19374  frgpupf  19375  frgpup1  19377  frgpup3lem  19379  cycpmconjv  31403  mrsubff  33468  mrsubccat  33474