Theorem cshco 14789

Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6708	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		cshwfn 14753	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5		cshwrn 14754	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7		fnco 6658	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
9		wrdco 14784	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
10	9	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
11		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		cshwfn 14753	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
13	10, 11, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
14		lenco 14785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
17	16	fneq2d 6634	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
18	13, 17	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
19	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
20	19	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
21	20	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
22	21	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
23		wrdfn 14480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26		elfzoelz 13633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		zaddcl 12601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	26, 11, 27	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29		elfzo0 13674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
30	29	simp2bi 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32		zmodfzo 13860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
33	28, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	15	oveq2d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
35	34	eleq1d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		fvco2 6979	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
39	25, 37, 38	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
40		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
41	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43		cshwidxmod 14755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
44	43	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
45	40, 41, 42, 44	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
46	22, 39, 45	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
47		fvco2 6979	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
48	4, 47	sylan 579	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
49	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
50	15	eqcomd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
51	50	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
52	51	eleq2d 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
53	52	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
54		cshwidxmod 14755	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
55	49, 41, 53, 54	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
56	46, 48, 55	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
57	8, 18, 56	eqfnfvd 7026	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139  ran crn 5668   ∘ ccom 5671   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107   + caddc 11110   < clt 11247  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ..^cfzo 13628   mod cmo 13835  ♯chash 14291  Word cword 14466   cyclShift ccsh 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-csh 14741

This theorem is referenced by:  cycpmconjv  32794  cycpmconjslem1  32806