Theorem cshco 14875

Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6736	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		cshwfn 14839	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5		cshwrn 14840	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7		fnco 6686	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
9		wrdco 14870	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
10	9	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
11		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		cshwfn 14839	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
14		lenco 14871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
17	16	fneq2d 6662	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
18	13, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
19	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
20	19	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
21	20	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
22	21	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
23		wrdfn 14566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26		elfzoelz 13699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		zaddcl 12657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	26, 11, 27	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29		elfzo0 13740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
30	29	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32		zmodfzo 13934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
33	28, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	15	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
35	34	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		fvco2 7006	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
39	25, 37, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
40		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
41	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43		cshwidxmod 14841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
44	43	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
45	40, 41, 42, 44	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
46	22, 39, 45	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
47		fvco2 7006	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
48	4, 47	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
49	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
50	15	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
51	50	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
52	51	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
53	52	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
54		cshwidxmod 14841	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
55	49, 41, 53, 54	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
56	46, 48, 55	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
57	8, 18, 56	eqfnfvd 7054	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ran crn 5686   ∘ ccom 5689   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  ♯chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827

This theorem is referenced by:  cycpmconjv  33162  cycpmconjslem1  33174