Theorem cshco 14401

Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6545	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		cshwfn 14366	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3adant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5		cshwrn 14367	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7		fnco 6494	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
9		wrdco 14396	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
10	9	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
11		simp2 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		cshwfn 14366	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
13	10, 11, 12	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
14		lenco 14397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	3adant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
17	16	fneq2d 6473	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
18	13, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
19	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
20	19	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
21	20	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
22	21	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
23		wrdfn 14083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	3ad2ant1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26		elfzoelz 13243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		zaddcl 12217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	26, 11, 27	syl2anr 600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29		elfzo0 13283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
30	29	simp2bi 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	30	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32		zmodfzo 13467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
33	28, 31, 32	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	15	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
35	34	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
36	35	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
37	33, 36	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		fvco2 6808	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
39	25, 37, 38	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
40		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
41	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43		cshwidxmod 14368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
44	43	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
45	40, 41, 42, 44	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
46	22, 39, 45	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
47		fvco2 6808	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
48	4, 47	sylan 583	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
49	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
50	15	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
51	50	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
52	51	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
53	52	biimpa 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
54		cshwidxmod 14368	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
55	49, 41, 53, 54	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
56	46, 48, 55	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
57	8, 18, 56	eqfnfvd 6855	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ran crn 5552   ∘ ccom 5555   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   + caddc 10732   < clt 10867  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ..^cfzo 13238   mod cmo 13442  ♯chash 13896  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-csh 14354

This theorem is referenced by:  cycpmconjv  31128  cycpmconjslem1  31140