Theorem cshco 14784

Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6715	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		cshwfn 14748	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5		cshwrn 14749	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
6	5	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7		fnco 6665	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
9		wrdco 14779	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
10	9	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
11		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		cshwfn 14748	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
14		lenco 14780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq2d 7422	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
17	16	fneq2d 6641	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
18	13, 17	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
19	15	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
20	19	oveq2d 7422	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
21	20	fveq2d 6893	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
22	21	fveq2d 6893	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
23		wrdfn 14475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26		elfzoelz 13629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		zaddcl 12599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	26, 11, 27	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29		elfzo0 13670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
30	29	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31	30	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32		zmodfzo 13856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
33	28, 31, 32	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34	15	oveq2d 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
35	34	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
36	35	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38		fvco2 6986	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
39	25, 37, 38	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
40		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
41	11	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43		cshwidxmod 14750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
44	43	fveq2d 6893	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
45	40, 41, 42, 44	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
46	22, 39, 45	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
47		fvco2 6986	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
48	4, 47	sylan 581	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
49	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
50	15	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
51	50	oveq2d 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
52	51	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
53	52	biimpa 478	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
54		cshwidxmod 14750	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
55	49, 41, 53, 54	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
56	46, 48, 55	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
57	8, 18, 56	eqfnfvd 7033	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) cyclShift 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107   + caddc 11110   < clt 11245  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  ♯chash 14287  Word cword 14461   cyclShift ccsh 14735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-csh 14736

This theorem is referenced by:  cycpmconjv  32289  cycpmconjslem1  32301