MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshco 14022
Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6374 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 cshwfn 13987 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
433adant3 1123 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
5 cshwrn 13988 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
653adant3 1123 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7 fnco 6327 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1362 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
9 wrdco 14017 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
1093adant2 1122 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
11 simp2 1128 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 cshwfn 13987 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
14 lenco 14018 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
15143adant2 1122 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
1615oveq2d 7023 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
1716fneq2d 6309 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) ↔ ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
1813, 17mpbid 233 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
1915adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
2019oveq2d 7023 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2120fveq2d 6534 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
2221fveq2d 6534 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
23 wrdfn 13710 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24233ad2ant1 1124 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2524adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
26 elfzoelz 12877 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27 zaddcl 11860 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
2826, 11, 27syl2anr 596 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 elfzo0 12916 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
3029simp2bi 1137 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3130adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32 zmodfzo 13100 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3328, 31, 32syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3415oveq2d 7023 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
3534eleq1d 2865 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3635adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3733, 36mpbird 258 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38 fvco2 6617 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))))))
3925, 37, 38syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊))))))
40 simpl1 1182 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4111adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpr 485 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
43 cshwidxmod 13989 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
4443fveq2d 6534 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4540, 41, 42, 44syl3anc 1362 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))))
4622, 39, 453eqtr4rd 2840 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))))
47 fvco2 6617 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
484, 47sylan 580 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
4910adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
5015eqcomd 2799 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹𝑊)))
5150oveq2d 7023 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
5251eleq2d 2866 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊)))))
5352biimpa 477 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊))))
54 cshwidxmod 13989 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊)))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))))
5549, 41, 53, 54syl3anc 1362 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝐹𝑊)))))
5646, 48, 553eqtr4d 2839 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
578, 18, 56eqfnfvd 6661 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wss 3854   class class class wbr 4956  ran crn 5436  ccom 5439   Fn wfn 6212  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  0cc0 10372   + caddc 10375   < clt 10510  cn 11475  0cn0 11734  cz 11818  ..^cfzo 12872   mod cmo 13075  chash 13528  Word cword 13695   cyclShift ccsh 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-mod 13076  df-hash 13529  df-word 13696  df-concat 13757  df-substr 13827  df-pfx 13857  df-csh 13975
This theorem is referenced by:  cycpmconjv  30384  cycpmconjslem1  30392
  Copyright terms: Public domain W3C validator