Theorem odpmco 33106

Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
odpmco.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
odpmco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	eldifad 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		odpmco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		odpmco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9	6, 7, 8	symgov 19401	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
11	6, 7, 8	symgcl 19402	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
12	3, 5, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15	6, 14, 7	psgnco 21601	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
16	1, 3, 5, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17		odpmco.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
19	18	difeq2d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
20	2, 19	eleqtrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
21	6, 7, 14	psgnodpm 21606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
22	1, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
23	4, 19	eleqtrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
24	6, 7, 14	psgnodpm 21606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
25	1, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
26	22, 25	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27		neg1mulneg1e1 12479	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
28	26, 27	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
29	16, 28	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)
30	6, 7, 14	psgnevpmb 21605	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)))
31	30	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
32	1, 13, 29, 31	syl12anc 837	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
33	32, 17	eleqtrrdi 2852	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  pmEvencevpm 19508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-evpm 19510  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  cyc3conja  33177