Theorem odpmco 31334

Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
odpmco.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
odpmco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	eldifad 3903	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3903	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		odpmco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		odpmco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9	6, 7, 8	symgov 18972	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10	3, 5, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
11	6, 7, 8	symgcl 18973	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
12	3, 5, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15	6, 14, 7	psgnco 20769	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
16	1, 3, 5, 15	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17		odpmco.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
19	18	difeq2d 4061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
20	2, 19	eleqtrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
21	6, 7, 14	psgnodpm 20774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
22	1, 20, 21	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
23	4, 19	eleqtrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
24	6, 7, 14	psgnodpm 20774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
25	1, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
26	22, 25	oveq12d 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27		neg1mulneg1e1 12169	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
28	26, 27	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
29	16, 28	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)
30	6, 7, 14	psgnevpmb 20773	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)))
31	30	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
32	1, 13, 29, 31	syl12anc 833	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
33	32, 17	eleqtrrdi 2851	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3888   ∘ ccom 5592  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  1c1 10856   · cmul 10860  -cneg 11189  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  SymGrpcsymg 18955  pmSgncpsgn 19078  pmEvencevpm 19079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-word 14199  df-lsw 14247  df-concat 14255  df-s1 14282  df-substr 14335  df-pfx 14365  df-splice 14444  df-reverse 14453  df-s2 14542  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-efmnd 18489  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-gim 18856  df-oppg 18931  df-symg 18956  df-pmtr 19031  df-psgn 19080  df-evpm 19081  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-drng 19974  df-cnfld 20579

This theorem is referenced by:  cyc3conja  31403