Theorem odpmco 33089

Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
odpmco.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
odpmco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	eldifad 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		odpmco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		odpmco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9	6, 7, 8	symgov 19416	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
11	6, 7, 8	symgcl 19417	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
12	3, 5, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15	6, 14, 7	psgnco 21619	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
16	1, 3, 5, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17		odpmco.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
19	18	difeq2d 4136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
20	2, 19	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
21	6, 7, 14	psgnodpm 21624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
22	1, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
23	4, 19	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
24	6, 7, 14	psgnodpm 21624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
25	1, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
26	22, 25	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27		neg1mulneg1e1 12477	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
28	26, 27	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
29	16, 28	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)
30	6, 7, 14	psgnevpmb 21623	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)))
31	30	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
32	1, 13, 29, 31	syl12anc 837	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
33	32, 17	eleqtrrdi 2850	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  SymGrpcsymg 19401  pmSgncpsgn 19522  pmEvencevpm 19523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-evpm 19525  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by:  cyc3conja  33160