Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odpmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odpmco 30725
Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
odpmco.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
odpmco ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2 simp2 1133 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐴))
32eldifad 3948 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋𝐵)
4 simp3 1134 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵𝐴))
54eldifad 3948 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌𝐵)
6 odpmco.s . . . . . 6 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 odpmco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 eqid 2821 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
96, 7, 8symgov 18506 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑌))
103, 5, 9syl2anc 586 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑌))
116, 7, 8symgcl 18507 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
123, 5, 11syl2anc 586 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
1310, 12eqeltrrd 2914 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐵)
14 eqid 2821 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
156, 14, 7psgnco 20721 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
161, 3, 5, 15syl3anc 1367 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17 odpmco.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
1918difeq2d 4099 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
202, 19eleqtrd 2915 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
216, 7, 14psgnodpm 20726 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
221, 20, 21syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
234, 19eleqtrd 2915 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
246, 7, 14psgnodpm 20726 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
251, 23, 24syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
2622, 25oveq12d 7168 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27 neg1mulneg1e1 11844 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
2826, 27syl6eq 2872 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
2916, 28eqtrd 2856 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)
306, 7, 14psgnevpmb 20725 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)))
3130biimpar 480 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)) → (𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
321, 13, 29, 31syl12anc 834 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
3332, 17eleqtrrdi 2924 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cdif 3933  ccom 5554  cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  1c1 10532   · cmul 10536  -cneg 10865  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  SymGrpcsymg 18489  pmSgncpsgn 18611  pmEvencevpm 18612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-reverse 14115  df-s2 14204  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-efmnd 18028  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-oppg 18468  df-symg 18490  df-pmtr 18564  df-psgn 18613  df-evpm 18614  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-cnfld 20540
This theorem is referenced by:  cyc3conja  30794
  Copyright terms: Public domain W3C validator