Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odpmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odpmco 30881
 Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
odpmco.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
odpmco ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐴))
32eldifad 3870 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋𝐵)
4 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵𝐴))
54eldifad 3870 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌𝐵)
6 odpmco.s . . . . . 6 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 odpmco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 eqid 2758 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
96, 7, 8symgov 18579 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑌))
103, 5, 9syl2anc 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑌))
116, 7, 8symgcl 18580 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
123, 5, 11syl2anc 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
1310, 12eqeltrrd 2853 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐵)
14 eqid 2758 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
156, 14, 7psgnco 20348 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
161, 3, 5, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17 odpmco.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
1918difeq2d 4028 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
202, 19eleqtrd 2854 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
216, 7, 14psgnodpm 20353 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
221, 20, 21syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
234, 19eleqtrd 2854 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
246, 7, 14psgnodpm 20353 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
251, 23, 24syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
2622, 25oveq12d 7168 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27 neg1mulneg1e1 11887 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
2826, 27eqtrdi 2809 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
2916, 28eqtrd 2793 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)
306, 7, 14psgnevpmb 20352 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)))
3130biimpar 481 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)) → (𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
321, 13, 29, 31syl12anc 835 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
3332, 17eleqtrrdi 2863 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3855   ∘ ccom 5528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  1c1 10576   · cmul 10580  -cneg 10909  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  SymGrpcsymg 18562  pmSgncpsgn 18684  pmEvencevpm 18685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-word 13914  df-lsw 13962  df-concat 13970  df-s1 13997  df-substr 14050  df-pfx 14080  df-splice 14159  df-reverse 14168  df-s2 14257  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-efmnd 18100  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-gim 18466  df-oppg 18541  df-symg 18563  df-pmtr 18637  df-psgn 18686  df-evpm 18687  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-cnfld 20167 This theorem is referenced by:  cyc3conja  30950
 Copyright terms: Public domain W3C validator