Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odpmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odpmco 33089
Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
odpmco.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
odpmco ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐴))
32eldifad 3975 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋𝐵)
4 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵𝐴))
54eldifad 3975 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌𝐵)
6 odpmco.s . . . . . 6 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7 odpmco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
96, 7, 8symgov 19416 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑌))
103, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑌))
116, 7, 8symgcl 19417 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
123, 5, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
1310, 12eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐵)
14 eqid 2735 . . . . . 6 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
156, 14, 7psgnco 21619 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
161, 3, 5, 15syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17 odpmco.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
1918difeq2d 4136 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
202, 19eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
216, 7, 14psgnodpm 21624 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
221, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
234, 19eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
246, 7, 14psgnodpm 21624 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
251, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
2622, 25oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27 neg1mulneg1e1 12477 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
2826, 27eqtrdi 2791 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
2916, 28eqtrd 2775 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)
306, 7, 14psgnevpmb 21623 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)))
3130biimpar 477 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋𝑌)) = 1)) → (𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
321, 13, 29, 31syl12anc 837 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
3332, 17eleqtrrdi 2850 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝐴)) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  SymGrpcsymg 19401  pmSgncpsgn 19522  pmEvencevpm 19523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-evpm 19525  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  cyc3conja  33160
  Copyright terms: Public domain W3C validator