Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odpmco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem odpmco 32118
Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
odpmco.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
odpmco.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
odpmco.a 𝐴 = (pmEvenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
odpmco ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem odpmco
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
2 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴))
32eldifad 3956 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴))
54eldifad 3956 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 odpmco.s . . . . . 6 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
7 odpmco.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 eqid 2731 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
96, 7, 8symgov 19215 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋 ∘ π‘Œ))
103, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋 ∘ π‘Œ))
116, 7, 8symgcl 19216 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) ∈ 𝐡)
123, 5, 11syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) ∈ 𝐡)
1310, 12eqeltrrd 2833 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ 𝐡)
14 eqid 2731 . . . . . 6 (pmSgnβ€˜π·) = (pmSgnβ€˜π·)
156, 14, 7psgnco 21069 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(𝑋 ∘ π‘Œ)) = (((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘‹) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘Œ)))
161, 3, 5, 15syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(𝑋 ∘ π‘Œ)) = (((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘‹) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘Œ)))
17 odpmco.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (pmEvenβ€˜π·)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐴 = (pmEvenβ€˜π·))
1918difeq2d 4118 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) = (𝐡 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
202, 19eleqtrd 2834 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
216, 7, 14psgnodpm 21074 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘‹) = -1)
221, 20, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘‹) = -1)
234, 19eleqtrd 2834 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
246, 7, 14psgnodpm 21074 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘Œ) = -1)
251, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘Œ) = -1)
2622, 25oveq12d 7411 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘‹) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘Œ)) = (-1 Β· -1))
27 neg1mulneg1e1 12407 . . . . 5 (-1 Β· -1) = 1
2826, 27eqtrdi 2787 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘‹) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜π‘Œ)) = 1)
2916, 28eqtrd 2771 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(𝑋 ∘ π‘Œ)) = 1)
306, 7, 14psgnevpmb 21073 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ ((𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ ((𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(𝑋 ∘ π‘Œ)) = 1)))
3130biimpar 478 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(𝑋 ∘ π‘Œ)) = 1)) β†’ (𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ (pmEvenβ€˜π·))
321, 13, 29, 31syl12anc 835 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ (pmEvenβ€˜π·))
3332, 17eleqtrrdi 2843 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (𝑋 ∘ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3941   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  Fincfn 8922  1c1 11093   Β· cmul 11097  -cneg 11427  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  SymGrpcsymg 19198  pmSgncpsgn 19321  pmEvencevpm 19322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-word 14447  df-lsw 14495  df-concat 14503  df-s1 14528  df-substr 14573  df-pfx 14603  df-splice 14682  df-reverse 14691  df-s2 14781  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-efmnd 18725  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-gim 19099  df-oppg 19174  df-symg 19199  df-pmtr 19274  df-psgn 19323  df-evpm 19324  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-cnfld 20879
This theorem is referenced by:  cyc3conja  32187
  Copyright terms: Public domain W3C validator