Theorem odpmco 33343

Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
odpmco.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
odpmco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	eldifad 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		odpmco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		odpmco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9	6, 7, 8	symgov 19450	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10	3, 5, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
11	6, 7, 8	symgcl 19451	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
12	3, 5, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15	6, 14, 7	psgnco 21698	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
16	1, 3, 5, 15	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17		odpmco.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
19	18	difeq2d 4089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
20	2, 19	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
21	6, 7, 14	psgnodpm 21703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
22	1, 20, 21	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
23	4, 19	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
24	6, 7, 14	psgnodpm 21703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
25	1, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
26	22, 25	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27		neg1mulneg1e1 12452	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
28	26, 27	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
29	16, 28	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)
30	6, 7, 14	psgnevpmb 21702	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)))
31	30	biimpar 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
32	1, 13, 29, 31	syl12anc 849	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
33	32, 17	eleqtrrdi 2880	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  1c1 11097   · cmul 11101  -cneg 11438  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  SymGrpcsymg 19435  pmSgncpsgn 19555  pmEvencevpm 19556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-efmnd 18924  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-oppg 19412  df-symg 19436  df-pmtr 19508  df-psgn 19557  df-evpm 19558  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20811  df-cnfld 21488

This theorem is referenced by:  cyc3conja  33414