Theorem odpmco 33050

Description: The composition of two odd permutations is even. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
odpmco.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
odpmco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
odpmco.a	⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
odpmco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem odpmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ Fin)
2		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
3	2	eldifad 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		odpmco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
7		odpmco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9	6, 7, 8	symgov 19370	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘ 𝑌))
11	6, 7, 8	symgcl 19371	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
12	3, 5, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
15	6, 14, 7	psgnco 21556	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
16	1, 3, 5, 15	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)))
17		odpmco.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (pmEven‘𝐷))
19	18	difeq2d 4106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝐵 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
20	2, 19	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
21	6, 7, 14	psgnodpm 21561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
22	1, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) = -1)
23	4, 19	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷)))
24	6, 7, 14	psgnodpm 21561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
25	1, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌) = -1)
26	22, 25	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = (-1 · -1))
27		neg1mulneg1e1 12461	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
28	26, 27	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((pmSgn‘𝐷)‘𝑋) · ((pmSgn‘𝐷)‘𝑌)) = 1)
29	16, 28	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)
30	6, 7, 14	psgnevpmb 21560	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)))
31	30	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘(𝑋 ∘ 𝑌)) = 1)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
32	1, 13, 29, 31	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ (pmEven‘𝐷))
33	32, 17	eleqtrrdi 2844	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∘ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Fincfn 8967  1c1 11138   · cmul 11142  -cneg 11475  Basecbs 17230  +_gcplusg 17274  SymGrpcsymg 19355  pmSgncpsgn 19476  pmEvencevpm 19477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-addf 11216  ax-mulf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14353  df-word 14536  df-lsw 14584  df-concat 14592  df-s1 14617  df-substr 14662  df-pfx 14692  df-splice 14771  df-reverse 14780  df-s2 14870  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-efmnd 18852  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-oppg 19334  df-symg 19356  df-pmtr 19429  df-psgn 19478  df-evpm 19479  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-cring 20202  df-oppr 20303  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-drng 20700  df-cnfld 21328

This theorem is referenced by:  cyc3conja  33121