Theorem termoeu2 49243

Description: Terminal objects are essentially unique; if 𝐴 is a terminal object, then so is every object that is isomorphic to 𝐴. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termoeu2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
termoeu2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (TermO‘𝐶))
termoeu2.i	⊢ (𝜑 → 𝐴( ≃𝑐 ‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
termoeu2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (TermO‘𝐶))

Proof of Theorem termoeu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termoeu2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
3	2	oppccat 17647	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
5		termoeu2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (TermO‘𝐶))
6		oppctermo 49241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
8		termoeu2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴( ≃𝑐 ‘𝐶)𝐵)
9	2, 8	oppccic 49049	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴( ≃𝑐 ‘(oppCat‘𝐶))𝐵)
10	4, 7, 9	initoeu2 17942	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
11		oppctermo 49241	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐵 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
12	10, 11	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (TermO‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Catccat 17589  oppCatcoppc 17636   ≃_𝑐 ccic 17721  InitOcinito 17907  TermOctermo 17908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-cat 17593  df-cid 17594  df-homf 17595  df-comf 17596  df-oppc 17637  df-sect 17673  df-inv 17674  df-iso 17675  df-cic 17722  df-inito 17910  df-termo 17911

This theorem is referenced by:  termcciso  49521