Theorem termoeu2 50691

Description: Terminal objects are essentially unique; if 𝐴 is a terminal object, then so is every object that is isomorphic to 𝐴. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termoeu2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
termoeu2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (TermO‘𝐶))
termoeu2.i	⊢ (𝜑 → 𝐴( ≃𝑐 ‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
termoeu2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (TermO‘𝐶))

Proof of Theorem termoeu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termoeu2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
3	2	oppccat 17946	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
5		termoeu2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (TermO‘𝐶))
6		oppctermo 50689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐴 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
7	5, 6	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
8		termoeu2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴( ≃𝑐 ‘𝐶)𝐵)
9	2, 8	oppccic 50489	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴( ≃𝑐 ‘(oppCat‘𝐶))𝐵)
10	4, 7, 9	initoeu2 18241	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
11		oppctermo 50689	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐵 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
12	10, 11	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (TermO‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Catccat 17888  oppCatcoppc 17935   ≃_𝑐 ccic 18020  InitOcinito 18206  TermOctermo 18207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-homf 17894  df-comf 17895  df-oppc 17936  df-sect 17972  df-inv 17973  df-iso 17974  df-cic 18021  df-inito 18209  df-termo 18210

This theorem is used by:  termcciso  50982