Theorem termcciso 50351

Description: A category is isomorphic to a terminal category iff it itself is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcciso.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termcciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termcciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termcciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcciso.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcciso	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Proof of Theorem termcciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcciso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		termcciso.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termcciso.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	elbasfv 17297	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
6	2	catccat 18187	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ Cat)
9	2, 3, 5	catcbas 18180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
10	1, 9	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
11	10	elin1d 4157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		termcciso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
13	2, 5, 11, 12	termcterm 50348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑈 ∈ V)
16		termcciso.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrd 2867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19	elin1d 4157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝑈)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ TermCat)
22	2, 15, 20, 21	termcterm 50348	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
23	8, 14, 22	termoeu1w 18098	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
24	11, 12	elind 4153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
25	24	ne0d 4295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
27	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
28	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
30	27, 28, 29	termoeu2 50073	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
31	2, 26, 30	termcterm2 50349	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ TermCat)
32	23, 31	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  Catccat 17742   ≃_𝑐 ccic 17874  TermOctermo 18061  CatCatccatc 18177  TermCatctermc 50307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-hom 17356  df-cco 17357  df-cat 17746  df-cid 17747  df-homf 17748  df-comf 17749  df-oppc 17790  df-sect 17826  df-inv 17827  df-iso 17828  df-cic 17875  df-func 17937  df-idfu 17938  df-cofu 17939  df-full 17985  df-fth 17986  df-inito 18063  df-termo 18064  df-catc 18178  df-thinc 50253  df-termc 50308

This theorem is used by:  termfucterm  50379  uobeqterm  50381