Theorem termcciso 50294

Description: A category is isomorphic to a terminal category iff it itself is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcciso.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termcciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termcciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termcciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcciso.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcciso	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Proof of Theorem termcciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcciso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		termcciso.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termcciso.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	elbasfv 17270	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
6	2	catccat 18160	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ Cat)
9	2, 3, 5	catcbas 18153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
10	1, 9	eleqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
11	10	elin1d 4157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		termcciso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
13	2, 5, 11, 12	termcterm 50291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
15	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑈 ∈ V)
16		termcciso.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19	elin1d 4157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝑈)
21		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ TermCat)
22	2, 15, 20, 21	termcterm 50291	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
23	8, 14, 22	termoeu1w 18071	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
24	11, 12	elind 4153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
25	24	ne0d 4295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
26	25	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
27	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
28	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
29		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
30	27, 28, 29	termoeu2 50016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
31	2, 26, 30	termcterm2 50292	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ TermCat)
32	23, 31	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∩ cin 3904  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  Catccat 17715   ≃_𝑐 ccic 17847  TermOctermo 18034  CatCatccatc 18150  TermCatctermc 50250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-homf 17721  df-comf 17722  df-oppc 17763  df-sect 17799  df-inv 17800  df-iso 17801  df-cic 17848  df-func 17910  df-idfu 17911  df-cofu 17912  df-full 17958  df-fth 17959  df-inito 18036  df-termo 18037  df-catc 18151  df-thinc 50196  df-termc 50251

This theorem is referenced by:  termfucterm  50322  uobeqterm  50324