Theorem termcciso 50442

Description: A category is isomorphic to a terminal category iff it itself is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcciso.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termcciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termcciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termcciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcciso.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcciso	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Proof of Theorem termcciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcciso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		termcciso.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termcciso.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	elbasfv 17307	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
6	2	catccat 18197	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ Cat)
9	2, 3, 5	catcbas 18190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
10	1, 9	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
11	10	elin1d 4150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		termcciso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
13	2, 5, 11, 12	termcterm 50439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑈 ∈ V)
16		termcciso.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19	elin1d 4150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝑈)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ TermCat)
22	2, 15, 20, 21	termcterm 50439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
23	8, 14, 22	termoeu1w 18108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
24	11, 12	elind 4146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
25	24	ne0d 4288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
27	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
28	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
30	27, 28, 29	termoeu2 50164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
31	2, 26, 30	termcterm2 50440	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ TermCat)
32	23, 31	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  Catccat 17752   ≃_𝑐 ccic 17884  TermOctermo 18071  CatCatccatc 18187  TermCatctermc 50398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-homf 17758  df-comf 17759  df-oppc 17800  df-sect 17836  df-inv 17837  df-iso 17838  df-cic 17885  df-func 17947  df-idfu 17948  df-cofu 17949  df-full 17995  df-fth 17996  df-inito 18073  df-termo 18074  df-catc 18188  df-thinc 50344  df-termc 50399

This theorem is used by:  termfucterm  50470  uobeqterm  50472