Theorem termcciso 50326

Description: A category is isomorphic to a terminal category iff it itself is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcciso.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termcciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termcciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termcciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcciso.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcciso	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Proof of Theorem termcciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcciso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		termcciso.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termcciso.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	elbasfv 17285	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
6	2	catccat 18175	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ Cat)
9	2, 3, 5	catcbas 18168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
10	1, 9	eleqtrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
11	10	elin1d 4160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		termcciso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
13	2, 5, 11, 12	termcterm 50323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑈 ∈ V)
16		termcciso.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrd 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19	elin1d 4160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝑈)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ TermCat)
22	2, 15, 20, 21	termcterm 50323	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
23	8, 14, 22	termoeu1w 18086	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
24	11, 12	elind 4156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
25	24	ne0d 4298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
27	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
28	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
30	27, 28, 29	termoeu2 50048	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
31	2, 26, 30	termcterm2 50324	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ TermCat)
32	23, 31	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ∩ cin 3907  ∅c0 4289   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  Basecbs 17279  Catccat 17730   ≃_𝑐 ccic 17862  TermOctermo 18049  CatCatccatc 18165  TermCatctermc 50282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-hom 17344  df-cco 17345  df-cat 17734  df-cid 17735  df-homf 17736  df-comf 17737  df-oppc 17778  df-sect 17814  df-inv 17815  df-iso 17816  df-cic 17863  df-func 17925  df-idfu 17926  df-cofu 17927  df-full 17973  df-fth 17974  df-inito 18051  df-termo 18052  df-catc 18166  df-thinc 50228  df-termc 50283

This theorem is used by:  termfucterm  50354  uobeqterm  50356