Theorem termcciso 50178

Description: A category is isomorphic to a terminal category iff it itself is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcciso.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termcciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termcciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termcciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcciso.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcciso	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Proof of Theorem termcciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcciso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		termcciso.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termcciso.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	elbasfv 17274	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
6	2	catccat 18164	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ Cat)
9	2, 3, 5	catcbas 18157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
10	1, 9	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
11	10	elin1d 4165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		termcciso.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
13	2, 5, 11, 12	termcterm 50175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
15	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑈 ∈ V)
16		termcciso.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19	elin1d 4165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ 𝑈)
21		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ TermCat)
22	2, 15, 20, 21	termcterm 50175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
23	8, 14, 22	termoeu1w 18075	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ TermCat) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
24	11, 12	elind 4161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
25	24	ne0d 4303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
26	25	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
27	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
28	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
29		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)
30	27, 28, 29	termoeu2 49900	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
31	2, 26, 30	termcterm2 50176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌) → 𝑌 ∈ TermCat)
32	23, 31	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ TermCat ↔ 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  Catccat 17719   ≃_𝑐 ccic 17851  TermOctermo 18038  CatCatccatc 18154  TermCatctermc 50134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-cat 17723  df-cid 17724  df-homf 17725  df-comf 17726  df-oppc 17767  df-sect 17803  df-inv 17804  df-iso 17805  df-cic 17852  df-func 17914  df-idfu 17915  df-cofu 17916  df-full 17962  df-fth 17963  df-inito 18040  df-termo 18041  df-catc 18155  df-thinc 50080  df-termc 50135

This theorem is referenced by:  termfucterm  50206  uobeqterm  50208