Theorem isperp2 28797

Description: Property for 2 lines A, B, intersecting at a point X to be perpendicular. Item (i) of definition 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
isperp2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑋,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑣,𝑢)   𝐿(𝑣,𝑢)   − (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isperp2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑢 = 𝑢)
2		isperp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		isperp.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10	9	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		simp-4r 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
13	2, 11, 3, 4, 6, 8, 10, 12	perpneq 28796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15		isperp2.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16	15	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
17	2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tglineineq 28725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑋)
18		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 = 𝑣)
19	1, 17, 18	s3eqd 14817	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
20	19	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
21	20	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
22	21	ralimdva 3150	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
23	22	ralimdva 3150	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	23	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
25	2, 11, 3, 4, 5, 7, 9	isperp 28794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	25	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	24, 26	r19.29a 3146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		s3eq2 14823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
29	28	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
30	29	2ralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
31	30	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
32	15, 31	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
34	32, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
35	27, 34	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   class class class wbr 5086  ran crn 5625  ‘cfv 6492  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28509  Itvcitv 28515  LineGclng 28516  ∟Gcrag 28775  ⟂Gcperpg 28777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28530  df-trkgb 28531  df-trkgcb 28532  df-trkg 28535  df-cgrg 28593  df-mir 28735  df-rag 28776  df-perpg 28778

This theorem is referenced by:  isperp2d  28798  ragperp  28799  foot  28804