Theorem isperp2 29024

Description: Property for 2 lines A, B, intersecting at a point X to be perpendicular. Item (i) of definition 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
isperp2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑋,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣, 𝑢)   𝐼(𝑣, 𝑢)   𝐿(𝑣, 𝑢)   − (𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem isperp2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑢 = 𝑢)
2		isperp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		isperp.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10	9	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		simp-4r 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
13	2, 11, 3, 4, 6, 8, 10, 12	perpneq 29023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15		isperp2.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16	15	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
17	2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tglineineq 28945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑋)
18		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 = 𝑣)
19	1, 17, 18	s3eqd 14920	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
20	19	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
21	20	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
22	21	ralimdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
23	22	ralimdva 3179	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	23	imp 412	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
25	2, 11, 3, 4, 5, 7, 9	isperp 29021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	25	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	24, 26	r19.29a 3175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		s3eq2 14926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
29	28	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
30	29	2ralbidv 3231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
31	30	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
32	15, 31	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
34	32, 33	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
35	27, 34	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  ⟨“cs3 14898  Basecbs 17286  distcds 17336  TarskiGcstrkg 28725  Itvcitv 28731  LineGclng 28732  ∟Gcrag 29002  ⟂Gcperpg 29004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-hash 14380  df-word 14564  df-concat 14621  df-s1 14648  df-s2 14904  df-s3 14905  df-trkgc 28746  df-trkgb 28747  df-trkgcb 28748  df-trkg 28751  df-cgrg 28809  df-mir 28959  df-rag 29003  df-perpg 29005

This theorem is used by:  isperp2d  29025  ragperp  29026  foot  29031