Theorem isperp2 27076

Description: Property for 2 lines A, B, intersecting at a point X to be perpendicular. Item (i) of definition 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
isperp2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑋,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑣,𝑢)   𝐿(𝑣,𝑢)   − (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isperp2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑢 = 𝑢)
2		isperp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		isperp.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10	9	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		simp-4r 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
13	2, 11, 3, 4, 6, 8, 10, 12	perpneq 27075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15		isperp2.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16	15	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
17	2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tglineineq 27004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑋)
18		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 = 𝑣)
19	1, 17, 18	s3eqd 14577	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
20	19	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
21	20	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
22	21	ralimdva 3108	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
23	22	ralimdva 3108	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	23	imp 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
25	2, 11, 3, 4, 5, 7, 9	isperp 27073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	25	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	24, 26	r19.29a 3218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		s3eq2 14583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
29	28	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
30	29	2ralbidv 3129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
31	30	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
32	15, 31	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	25	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
34	32, 33	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
35	27, 34	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  ∟Gcrag 27054  ⟂Gcperpg 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-mir 27014  df-rag 27055  df-perpg 27057

This theorem is referenced by:  isperp2d  27077  ragperp  27078  foot  27083