Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isperp2 26513
 Description: Property for 2 lines A, B, intersecting at a point X to be perpendicular. Item (i) of definition 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
Assertion
Ref Expression
isperp2 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑣,𝑢)   𝐿(𝑣,𝑢)   (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isperp2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑢 = 𝑢)
2 isperp.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 isperp.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 isperp.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 isperp.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 isperp.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
87ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9 isperp2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
109ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11 isperp.d . . . . . . . . . . 11 = (dist‘𝐺)
12 simp-4r 783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
132, 11, 3, 4, 6, 8, 10, 12perpneq 26512 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐴𝐵)
14 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
15 isperp2.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
1615ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
172, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 16tglineineq 26441 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 = 𝑋)
18 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 = 𝑣)
191, 17, 18s3eqd 14221 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
2019eleq1d 2877 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2120biimpd 232 . . . . . 6 (((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑣𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2221ralimdva 3147 . . . . 5 ((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) → (∀𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2322ralimdva 3147 . . . 4 (((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2423imp 410 . . 3 ((((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
252, 11, 3, 4, 5, 7, 9isperp 26510 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2625biimpa 480 . . 3 ((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2724, 26r19.29a 3251 . 2 ((𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28 s3eq2 14227 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
2928eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
30292ralbidv 3167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
3130rspcev 3574 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3215, 31sylan 583 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3325adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
3432, 33mpbird 260 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
3527, 34impbida 800 1 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∩ cin 3883   class class class wbr 5033  ran crn 5524  ‘cfv 6328  ⟨“cs3 14199  Basecbs 16479  distcds 16570  TarskiGcstrkg 26228  Itvcitv 26234  LineGclng 26235  ∟Gcrag 26491  ⟂Gcperpg 26493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26246  df-trkgb 26247  df-trkgcb 26248  df-trkg 26251  df-cgrg 26309  df-mir 26451  df-rag 26492  df-perpg 26494 This theorem is referenced by:  isperp2d  26514  ragperp  26515  foot  26520
 Copyright terms: Public domain W3C validator