Theorem isperp2 28724

Description: Property for 2 lines A, B, intersecting at a point X to be perpendicular. Item (i) of definition 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
isperp2	⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑋,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑣,𝑢)   𝐿(𝑣,𝑢)   − (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isperp2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑢 = 𝑢)
2		isperp.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		isperp.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		isperp.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
10	9	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11		isperp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
13	2, 11, 3, 4, 6, 8, 10, 12	perpneq 28723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
15		isperp2.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
16	15	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
17	2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tglineineq 28652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 = 𝑋)
18		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 = 𝑣)
19	1, 17, 18	s3eqd 14904	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
20	19	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
21	20	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
22	21	ralimdva 3166	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
23	22	ralimdva 3166	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	23	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
25	2, 11, 3, 4, 5, 7, 9	isperp 28721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	25	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	24, 26	r19.29a 3161	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		s3eq2 14910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ = ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩)
29	28	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
30	29	2ralbidv 3220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
31	30	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
32	15, 31	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
34	32, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
35	27, 34	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3949   class class class wbr 5142  ran crn 5685  ‘cfv 6560  ⟨“cs3 14882  Basecbs 17248  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28436  Itvcitv 28442  LineGclng 28443  ∟Gcrag 28702  ⟂Gcperpg 28704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28457  df-trkgb 28458  df-trkgcb 28459  df-trkg 28462  df-cgrg 28520  df-mir 28662  df-rag 28703  df-perpg 28705

This theorem is referenced by:  isperp2d  28725  ragperp  28726  foot  28731