Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgracycumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgracycumgr 32418
 Description: An acyclic pseudograph is a multigraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
upgracycumgr ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem upgracycumgr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgruhgr 26884 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
21anim1ci 618 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph))
3 eqid 2824 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2824 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
53, 4acycgrislfgr 32417 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
62, 5syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
73, 4umgrislfupgr 26905 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
87biimpri 231 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
96, 8syldan 594 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115  {crab 3136  𝒫 cpw 4520   class class class wbr 5047  dom cdm 5536  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336   ≤ cle 10661  2c2 11678  ♯chash 13684  Vtxcvtx 26778  iEdgciedg 26779  UHGraphcuhgr 26838  UPGraphcupgr 26862  UMGraphcumgr 26863  AcyclicGraphcacycgr 32407 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-s2 14199  df-edg 26830  df-uhgr 26840  df-upgr 26864  df-umgr 26865  df-wlks 27378  df-wlkson 27379  df-trls 27471  df-trlson 27472  df-pths 27494  df-pthson 27496  df-cycls 27565  df-acycgr 32408 This theorem is referenced by:  upgracycusgr  32420
 Copyright terms: Public domain W3C validator