Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgracycumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgracycumgr 35136
Description: An acyclic pseudograph is a multigraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
upgracycumgr ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem upgracycumgr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgruhgr 29109 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
21anim1ci 616 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph))
3 eqid 2736 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2736 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
53, 4acycgrislfgr 35135 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
62, 5syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
73, 4umgrislfupgr 29130 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
87biimpri 228 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
96, 8syldan 591 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  {crab 3435  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5141  dom cdm 5683  wf 6555  cfv 6559  cle 11292  2c2 12317  chash 14365  Vtxcvtx 29003  iEdgciedg 29004  UHGraphcuhgr 29063  UPGraphcupgr 29087  UMGraphcumgr 29088  AcyclicGraphcacycgr 35125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-oadd 8506  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-edg 29055  df-uhgr 29065  df-upgr 29089  df-umgr 29090  df-wlks 29607  df-wlkson 29608  df-trls 29700  df-trlson 29701  df-pths 29724  df-pthson 29726  df-cycls 29797  df-acycgr 35126
This theorem is referenced by:  upgracycusgr  35138
  Copyright terms: Public domain W3C validator