Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upgracycumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgracycumgr 35099
Description: An acyclic pseudograph is a multigraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
upgracycumgr ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem upgracycumgr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgruhgr 29115 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
21anim1ci 615 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph))
3 eqid 2733 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2733 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
53, 4acycgrislfgr 35098 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
62, 5syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
73, 4umgrislfupgr 29136 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
87biimpri 228 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
96, 8syldan 590 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2104  {crab 3432  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  dom cdm 5683  wf 6554  cfv 6558  cle 11287  2c2 12312  chash 14355  Vtxcvtx 29009  iEdgciedg 29010  UHGraphcuhgr 29069  UPGraphcupgr 29093  UMGraphcumgr 29094  AcyclicGraphcacycgr 35088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-oadd 8503  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-n0 12518  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12870  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-hash 14356  df-word 14539  df-concat 14595  df-s1 14620  df-s2 14873  df-edg 29061  df-uhgr 29071  df-upgr 29095  df-umgr 29096  df-wlks 29613  df-wlkson 29614  df-trls 29706  df-trlson 29707  df-pths 29730  df-pthson 29732  df-cycls 29801  df-acycgr 35089
This theorem is referenced by:  upgracycusgr  35101
  Copyright terms: Public domain W3C validator