Theorem usgrexmpl2nblem 47935

Description: Lemma for usgrexmpl2nb0 47936 etc. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nblem	⊢ (𝐾 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem usgrexmpl2nblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 47932	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5	1, 2, 3	usgrexmpl2vtx 47933	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6	5	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) = (Vtx‘𝐺)
7	1, 2, 3	usgrexmpl2edg 47934	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))
8	7	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) = (Edg‘𝐺)
9	6, 8	nbusgrvtx 29312	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	4, 9	mpan 690	1 ⊢ (𝐾 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {𝐾, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3420   ∪ cun 3931  {csn 4608  {cpr 4610  {ctp 4612  ⟨cop 4614  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12304  3c3 12305  4c4 12306  5c5 12307  ...cfz 13530  ⟨“cs7 14868  Vtxcvtx 28960  Edgcedg 29011  USGraphcusgr 29113   NeighbVtx cnbgr 29296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-oadd 8493  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-concat 14592  df-s1 14617  df-s2 14870  df-s3 14871  df-s4 14872  df-s5 14873  df-s6 14874  df-s7 14875  df-vtx 28962  df-iedg 28963  df-edg 29012  df-upgr 29046  df-umgr 29047  df-usgr 29115  df-nbgr 29297

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2nb0  47936  usgrexmpl2nb1  47937  usgrexmpl2nb2  47938  usgrexmpl2nb3  47939  usgrexmpl2nb4  47940  usgrexmpl2nb5  47941