Theorem vdiscusgrb 29621

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 22-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdiscusgrb	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 29413	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		hashnbusgrvd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	cusgruvtxb 29513	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
4	2	uvtxssvtx 29481	. . . . . 6 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉
5		eqcom 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺))
6		sssseq 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺)))
7	5, 6	bitr4id 292	. . . . . 6 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
8	4, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
9	3, 8	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
10		dfss3 3906	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
11	9, 10	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
12	1, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
13	2	usgruvtxvdb 29620	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
14	13	ralbidva 3162	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
15	12, 14	bitrd 281	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  1c1 11034   − cmin 11372  ♯chash 14287  Vtxcvtx 29087  USGraphcusgr 29240  FinUSGraphcfusgr 29407  UnivVtxcuvtx 29476  ComplUSGraphccusgr 29501  VtxDegcvtxdg 29556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-xadd 13059  df-fz 13457  df-hash 14288  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-ushgr 29150  df-upgr 29173  df-umgr 29174  df-uspgr 29241  df-usgr 29242  df-fusgr 29408  df-nbgr 29424  df-uvtx 29477  df-cplgr 29502  df-cusgr 29503  df-vtxdg 29557

This theorem is referenced by: (None)