Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdiscusgrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdiscusgrb 26780
 Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 22-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hashnbusgrvd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdiscusgrb (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgrb
StepHypRef Expression
1 fusgrusgr 26556 . . 3 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 hashnbusgrvd.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32cusgruvtxb 26672 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
42uvtxssvtx 26636 . . . . . 6 (UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉
5 sssseq 3816 . . . . . . 7 ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺)))
6 eqcom 2806 . . . . . . 7 ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉𝑉 = (UnivVtx‘𝐺))
75, 6syl6rbbr 282 . . . . . 6 ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
84, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
93, 8bitrd 271 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
10 dfss3 3787 . . . 4 (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
119, 10syl6bb 279 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
121, 11syl 17 . 2 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
132usgruvtxvdb 26779 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
1413ralbidva 3166 . 2 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
1512, 14bitrd 271 1 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089   ⊆ wss 3769  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225   − cmin 10556  ♯chash 13370  Vtxcvtx 26231  USGraphcusgr 26385  FinUSGraphcfusgr 26550  UnivVtxcuvtx 26629  ComplUSGraphccusgr 26659  VtxDegcvtxdg 26715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-xadd 12194  df-fz 12581  df-hash 13371  df-edg 26283  df-uhgr 26293  df-ushgr 26294  df-upgr 26317  df-umgr 26318  df-uspgr 26386  df-usgr 26387  df-fusgr 26551  df-nbgr 26567  df-uvtx 26630  df-cplgr 26660  df-cusgr 26661  df-vtxdg 26716 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator