Theorem vdiscusgrb 29976

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 22-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdiscusgrb	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 29768	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		hashnbusgrvd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	cusgruvtxb 29868	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
4	2	uvtxssvtx 29836	. . . . . 6 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉
5		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺))
6		sssseq 3952	. . . . . . 7 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺)))
7	5, 6	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
8	4, 7	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
9	3, 8	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
10		dfss3 3923	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
11	9, 10	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
12	1, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
13	2	usgruvtxvdb 29975	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
14	13	ralbidva 3185	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
15	12, 14	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   − cmin 11468  ♯chash 14396  Vtxcvtx 29439  USGraphcusgr 29595  FinUSGraphcfusgr 29762  UnivVtxcuvtx 29831  ComplUSGraphccusgr 29856  VtxDegcvtxdg 29911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-xadd 13166  df-fz 13564  df-hash 14397  df-edg 29491  df-uhgr 29501  df-ushgr 29502  df-upgr 29525  df-umgr 29526  df-uspgr 29596  df-usgr 29597  df-fusgr 29763  df-nbgr 29779  df-uvtx 29832  df-cplgr 29857  df-cusgr 29858  df-vtxdg 29912

This theorem is used by: (None)