Theorem vdiscusgrb 30044

Description: A finite simple graph with n vertices is complete iff every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 22-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdiscusgrb	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrusgr 29836	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		hashnbusgrvd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	cusgruvtxb 29936	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
4	2	uvtxssvtx 29904	. . . . . 6 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉
5		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺))
6		sssseq 3948	. . . . . . 7 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑉 = (UnivVtx‘𝐺)))
7	5, 6	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((UnivVtx‘𝐺) ⊆ 𝑉 → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
8	4, 7	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((UnivVtx‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
9	3, 8	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ 𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺)))
10		dfss3 3919	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
11	9, 10	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
12	1, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
13	2	usgruvtxvdb 30043	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
14	13	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))
15	12, 14	bitrd 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1c1 11172   − cmin 11512  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  USGraphcusgr 29663  FinUSGraphcfusgr 29830  UnivVtxcuvtx 29899  ComplUSGraphccusgr 29924  VtxDegcvtxdg 29979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-xadd 13211  df-fz 13609  df-hash 14442  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-ushgr 29570  df-upgr 29593  df-umgr 29594  df-uspgr 29664  df-usgr 29665  df-fusgr 29831  df-nbgr 29847  df-uvtx 29900  df-cplgr 29925  df-cusgr 29926  df-vtxdg 29980

This theorem is used by: (None)