Theorem vdiscusgr 29615

Description: In a finite complete simple graph with n vertices every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdiscusgr	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrvd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxisvtx 29472	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑛 ∈ 𝑉)
3		fveqeq2 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
4	3	rspccv 3562	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1))
7	1	usgruvtxvdb 29613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
8	7	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
11	2, 10	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑛 ∈ 𝑉))
12	11	eqrdv 2735	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉)
13		fusgrusgr 29405	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
14	1	cusgruvtxb 29505	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
18	17	ex 412	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   − cmin 11368  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  USGraphcusgr 29232  FinUSGraphcfusgr 29399  UnivVtxcuvtx 29468  ComplUSGraphccusgr 29493  VtxDegcvtxdg 29549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-xadd 13055  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-ushgr 29142  df-upgr 29165  df-umgr 29166  df-uspgr 29233  df-usgr 29234  df-fusgr 29400  df-nbgr 29416  df-uvtx 29469  df-cplgr 29494  df-cusgr 29495  df-vtxdg 29550

This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  29666