Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdiscusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdiscusgr 27365
 Description: In a finite complete simple graph with n vertices every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hashnbusgrvd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdiscusgr (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnbusgrvd.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxisvtx 27223 . . . . 5 (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑛𝑉)
3 fveqeq2 6664 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑛 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
43rspccv 3569 . . . . . . . . 9 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → (𝑛𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
54adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
65imp 410 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1))
71usgruvtxvdb 27363 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
87adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
96, 8mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛𝑉) → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
109ex 416 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛𝑉𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
112, 10impbid2 229 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑛𝑉))
1211eqrdv 2796 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉)
13 fusgrusgr 27156 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
141cusgruvtxb 27256 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
1615adantr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
1712, 16mpbird 260 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
1817ex 416 1 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545   − cmin 10877  ♯chash 13706  Vtxcvtx 26833  USGraphcusgr 26986  FinUSGraphcfusgr 27150  UnivVtxcuvtx 27219  ComplUSGraphccusgr 27244  VtxDegcvtxdg 27299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-uz 12252  df-xadd 12516  df-fz 12906  df-hash 13707  df-edg 26885  df-uhgr 26895  df-ushgr 26896  df-upgr 26919  df-umgr 26920  df-uspgr 26987  df-usgr 26988  df-fusgr 27151  df-nbgr 27167  df-uvtx 27220  df-cplgr 27245  df-cusgr 27246  df-vtxdg 27300 This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  27416
 Copyright terms: Public domain W3C validator