Theorem vdiscusgr 30119

Description: In a finite complete simple graph with n vertices every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdiscusgr	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrvd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxisvtx 29977	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑛 ∈ 𝑉)
3		fveqeq2 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
4	3	rspccv 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
5	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
6	5	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1))
7	1	usgruvtxvdb 30117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
8	7	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
9	6, 8	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
10	9	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
11	2, 10	impbid2 229	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑛 ∈ 𝑉))
12	11	eqrdv 2758	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉)
13		fusgrusgr 29910	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
14	1	cusgruvtxb 30010	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
18	17	ex 418	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  1c1 11206   − cmin 11546  ♯chash 14479  Vtxcvtx 29581  USGraphcusgr 29737  FinUSGraphcfusgr 29904  UnivVtxcuvtx 29973  ComplUSGraphccusgr 29998  VtxDegcvtxdg 30053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-xadd 13247  df-fz 13645  df-hash 14480  df-edg 29633  df-uhgr 29643  df-ushgr 29644  df-upgr 29667  df-umgr 29668  df-uspgr 29738  df-usgr 29739  df-fusgr 29905  df-nbgr 29921  df-uvtx 29974  df-cplgr 29999  df-cusgr 30000  df-vtxdg 30054

This theorem is used by:  cusgrm1rusgr  30170