Theorem vdiscusgr 27619

Description: In a finite complete simple graph with n vertices every vertex has degree 𝑛 − 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrvd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdiscusgr	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem vdiscusgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrvd.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxisvtx 27477	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → 𝑛 ∈ 𝑉)
3		fveqeq2 6726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
4	3	rspccv 3534	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
5	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
6	5	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1))
7	1	usgruvtxvdb 27617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
8	7	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑛) = ((♯‘𝑉) − 1)))
9	6, 8	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
10	9	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ 𝑉 → 𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
11	2, 10	impbid2 229	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑛 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ 𝑛 ∈ 𝑉))
12	11	eqrdv 2735	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉)
13		fusgrusgr 27410	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
14	1	cusgruvtxb 27510	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
16	15	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (UnivVtx‘𝐺) = 𝑉))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
18	17	ex 416	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730   − cmin 11062  ♯chash 13896  Vtxcvtx 27087  USGraphcusgr 27240  FinUSGraphcfusgr 27404  UnivVtxcuvtx 27473  ComplUSGraphccusgr 27498  VtxDegcvtxdg 27553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-xadd 12705  df-fz 13096  df-hash 13897  df-edg 27139  df-uhgr 27149  df-ushgr 27150  df-upgr 27173  df-umgr 27174  df-uspgr 27241  df-usgr 27242  df-fusgr 27405  df-nbgr 27421  df-uvtx 27474  df-cplgr 27499  df-cusgr 27500  df-vtxdg 27554

This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  27670