Theorem birthdaylem2 16088

Description: For general N and K, count the fraction of injective functions from 1 ... K to 1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	|- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t	|- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem2	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, k, K   f, N, k

Allowed substitution hints:   S( f, k)   T( f, k)

Proof of Theorem birthdaylem2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . 6 |- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
2	1	fveq2i 5698	. . . . 5 |- (♯ ` T ) = (♯ ` { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } )
3		1zzd 9671	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
4		elfzelz 10428	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
6	3, 5	fzfigd 10868	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... K ) e. Fin )
7		nnz 9663	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
9	3, 8	fzfigd 10868	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10		hashf1 11287	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... K ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> (♯ ` { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) _C (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) _C (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) ) )
12	2, 11	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` T ) = ( ( ! ` (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) _C (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) ) )
13		elfznn0 10521	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
15		hashfz1 11222	. . . . . . 7 |- ( K e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... K ) ) = K )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... K ) ) = K )
17	16	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) = ( ! ` K ) )
18		nnnn0 9570	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
19		hashfz1 11222	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
22	21, 16	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) _C (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) = ( N _C K ) )
23	17, 22	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) _C (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) ) = ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) )
24	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
25	24	faccld 11174	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. NN )
26	25	nncnd 9318	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
27		fznn0sub 10463	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. NN0 )
29	28	faccld 11174	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
30	29	nncnd 9318	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
31	29	nnap0d 9350	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) # 0 )
32	26, 30, 31	divclapd 9120	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) e. CC )
33	14	faccld 11174	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
34	33	nncnd 9318	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
35	33	nnap0d 9350	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) # 0 )
36	32, 34, 35	divcanap2d 9122	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` K ) x. ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) )
37		bcval2 11188	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
39	26, 30, 34, 31, 35	divdivap1d 9152	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
40	38, 39	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) )
41	40	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) = ( ( ! ` K ) x. ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) ) )
42	24	nn0zd 9766	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
43	3, 42	fzfigd 10868	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
44		elfznn 10460	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. NN )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. NN )
46		nnrp 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
47	46	relogcld 15983	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( log ` n ) e. RR )
48	47	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( log ` n ) e. CC )
49	45, 48	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
50	43, 49	fsumcl 12167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) e. CC )
51	28	nn0zd 9766	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
52	3, 51	fzfigd 10868	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... ( N - K ) ) e. Fin )
53		elfznn 10460	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( N - K ) ) -> n e. NN )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ) -> n e. NN )
55	54, 48	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
56	52, 55	fsumcl 12167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) e. CC )
57		efsub 12448	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) e. CC /\ sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) e. CC ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
58	50, 56, 57	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
59	28	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. RR )
60	59	ltp1d 9260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) < ( ( N - K ) + 1 ) )
61		fzdisj 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N - K ) < ( ( N - K ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( N - K ) ) i^i ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = (/) )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ... ( N - K ) ) i^i ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = (/) )
63		fznn0sub2 10535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )
65		elfzle2 10432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) <_ N )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) <_ N )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) <_ N )
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) e. NN )
69		nnuz 9958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
70	68, 69	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
71	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> N e. ZZ )
72		elfz5 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - K ) e. ( 1 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( ( N - K ) e. ( 1 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
74	67, 73	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) e. ( 1 ... N ) )
75		fzsplit 10456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - K ) e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
77		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( N - K ) = 0 )
78	77	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( 1 ... ( N - K ) ) = ( 1 ... 0 ) )
79		fz10 10450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
80	78, 79	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( 1 ... ( N - K ) ) = (/) )
81	80	uneq1d 3382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
82		uncom 3373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) u. (/) )
83		un0 3556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) u. (/) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N )
84	82, 83	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N )
85	77	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( N - K ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
86		1e0p1 9818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 0 + 1 )
87	85, 86	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( N - K ) + 1 ) = 1 )
88	87	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N ) )
89	84, 88	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( 1 ... N ) )
90	81, 89	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
91		elnn0 9565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - K ) e. NN0 <-> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
92	28, 91	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
93	76, 90, 92	mpjaodan 810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
94	62, 93, 43, 49	fsumsplit 12174	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) + sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) )
95	94	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) + sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
96	51	peano2zd 9771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
97	96, 42	fzfigd 10868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) e. Fin )
98		nn0p1nn 9602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
99	28, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
100		elfzuz 10424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
101		eluznn 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N - K ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
102	99, 100, 101	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> n e. NN )
103	102, 48	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
104	97, 103	fsumcl 12167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) e. CC )
105	56, 104	pncan2d 8639	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) + sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) )
106	95, 105	eqtr2d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
107	106	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) = ( exp ` ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
108	25	nnrpd 10095	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. RR+ )
109	108	reeflogd 15984	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` N ) )
110		logfac 15995	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( log ` ( ! ` N ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) )
111	24, 110	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( ! ` N ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) )
112	111	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` N ) ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) )
113	109, 112	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) )
114	29	nnrpd 10095	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. RR+ )
115	114	reeflogd 15984	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) ) = ( ! ` ( N - K ) ) )
116		logfac 15995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) )
117	28, 116	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) )
118	117	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
119	115, 118	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
120	113, 119	oveq12d 6103	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
121	58, 107, 120	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) )
122	36, 41, 121	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) )
123	12, 23, 122	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` T ) = ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) )
124		birthday.s	. . . . . . 7 |- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
125		mapvalg 6932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ ( 1 ... K ) e. Fin ) -> ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) } )
126	9, 6, 125	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) } )
127	124, 126	eqtr4id 2290	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> S = ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) )
128	127	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` S ) = (♯ ` ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) ) )
129		hashmap 11268	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ ( 1 ... K ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) ^ (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) )
130	9, 6, 129	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) ^ (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) )
131	128, 130	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` S ) = ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) ^ (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) )
132	21, 16	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` ( 1 ... N ) ) ^ (♯ ` ( 1 ... K ) ) ) = ( N ^ K ) )
133		nnrp 10064	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
134	133	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR+ )
135		reexplog 15972	. . . . 5 |- ( ( N e. RR+ /\ K e. ZZ ) -> ( N ^ K ) = ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) )
136	134, 5, 135	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N ^ K ) = ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) )
137	131, 132, 136	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` S ) = ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) )
138	123, 137	oveq12d 6103	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) ) )
139	14	nn0cnd 9622	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. CC )
140	134	relogcld 15983	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` N ) e. RR )
141	140	recnd 8354	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` N ) e. CC )
142	139, 141	mulcld 8346	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K x. ( log ` N ) ) e. CC )
143		efsub 12448	. . 3 |- ( ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) e. CC /\ ( K x. ( log ` N ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) ) )
144	104, 142, 143	syl2anc 415	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) ) )
145		relogdiv 15971	. . . . . . 7 |- ( ( n e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
146	46, 134, 145	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. NN ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
147	102, 146	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
148	147	sumeq2dv 12134	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` ( n / N ) ) = sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
149	102	nnrpd 10095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> n e. RR+ )
150	134	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> N e. RR+ )
151	149, 150	rpdivcld 10115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( n / N ) e. RR+ )
152	151	relogcld 15983	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` ( n / N ) ) e. RR )
153	152	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` ( n / N ) ) e. CC )
154		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( n = ( N - k ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) )
155	8, 96, 8, 153, 154	fsumrev 12210	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` ( n / N ) ) = sum_ k e. ( ( N - N ) ... ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) ) ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) )
156		nncn 9312	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
157	156	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
158	157	subidd 8625	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - N ) = 0 )
159		1cnd 8342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
160	157, 139, 159	subsubd 8665	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
161	160	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) )
162		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
163		subcl 8525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( K - 1 ) e. CC )
164	139, 162, 163	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K - 1 ) e. CC )
165	157, 164	nncand 8642	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( K - 1 ) )
166	161, 165	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( K - 1 ) )
167	158, 166	oveq12d 6103	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - N ) ... ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
168	157	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. CC )
169		elfznn0 10521	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
170	169	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
171	170	nn0cnd 9622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. CC )
172		nnap0 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N # 0 )
173	172	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N # 0 )
174	168, 171, 168, 173	divsubdirapd 9160	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) / N ) = ( ( N / N ) - ( k / N ) ) )
175	168, 173	dividapd 9116	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( N / N ) = 1 )
176	175	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( N / N ) - ( k / N ) ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
177	174, 176	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) / N ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
178	177	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) = ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
179	167, 178	sumeq12rdv 12139	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( N - N ) ... ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) ) ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
180	155, 179	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` ( n / N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
181	141	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` N ) e. CC )
182	97, 103, 181	fsumsub 12219	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) = ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) ) )
183		fsumconst 12221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) e. Fin /\ ( log ` N ) e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) = ( (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) x. ( log ` N ) ) )
184	97, 141, 183	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) = ( (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) x. ( log ` N ) ) )
185		fzen 10447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( N - K ) e. ZZ ) -> ( 1 ... K ) ~~ ( ( 1 + ( N - K ) ) ... ( K + ( N - K ) ) ) )
186	3, 5, 51, 185	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... K ) ~~ ( ( 1 + ( N - K ) ) ... ( K + ( N - K ) ) ) )
187	28	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. CC )
188		addcom 8463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( N - K ) e. CC ) -> ( 1 + ( N - K ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
189	162, 187, 188	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 + ( N - K ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
190	139, 157	pncan3d 8640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K + ( N - K ) ) = N )
191	189, 190	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 + ( N - K ) ) ... ( K + ( N - K ) ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
192	186, 191	breqtrd 4156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... K ) ~~ ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
193		hashen 11223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... K ) e. Fin /\ ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) = (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~~ ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
194	6, 97, 193	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` ( 1 ... K ) ) = (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) <-> ( 1 ... K ) ~~ ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
195	192, 194	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` ( 1 ... K ) ) = (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
196	195, 16	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = K )
197	196	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) x. ( log ` N ) ) = ( K x. ( log ` N ) ) )
198	184, 197	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) = ( K x. ( log ` N ) ) )
199	198	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) ) = ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) )
200	182, 199	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) = ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) )
201	148, 180, 200	3eqtr3rd 2280	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
202	201	fveq2d 5699	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
203	138, 144, 202	3eqtr2d 2277	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( (♯ ` T ) / (♯ ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   class class class wbr 4130   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   RR+crp 10054   ...cfz 10411   ^cexp 10975   !cfa 11163   _C cbc 11185  ♯chash 11214   sum_csu 12119   expce 12409   logclog 15957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-e 12416  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758  df-relog 15959

This theorem is used by:  birthdaylem3  16089