Theorem 5prm 13243

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9473	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 9487	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 9470	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 9584	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 9317	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 9461	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 9368	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2262	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 9478	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 9471	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 9583	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 9462	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 9448	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 9479	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 9587	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 9920	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 9823	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 13242	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  2c2 9357  3c3 9358  4c4 9359  5c5 9360  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  bpos1  16208