Theorem ccatrn 11297

Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrn	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatvalfn 11289	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2		lencl 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		nn0uz 9889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
6	2	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
7	6	uzidd 9869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
8		lencl 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9		uzaddcl 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
11		elfzuzb 10353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
12	5, 10, 11	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13		fzosplit 10513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
15	14	eleq2d 2302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
16		elun 3360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
17	15, 16	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
18		ccatval1 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	3expa 1230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		ssun1 3382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
21		wrdfn 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23		fnfvelrn 5809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
24	22, 23	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
25	20, 24	sselid 3236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
26	19, 25	eqeltrd 2309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
27		ccatval2 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
28	27	3expa 1230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29		ssun2 3383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
30		wrdfn 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
32		elfzouz 10485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
33		uznn0sub 9886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
35	34, 3	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	8	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
39		elfzolt2 10491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
41		elfzoelz 10481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
42	41	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
44	2	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
46	8	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
47	46	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
48	43, 45, 47	ltsubadd2d 8817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
49	40, 48	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇))
50		elfzo2 10484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇)))
51	36, 38, 49, 50	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
52		fnfvelrn 5809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
53	31, 51, 52	syl2an2r 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
54	29, 53	sselid 3236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
55	28, 54	eqeltrd 2309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
56	26, 55	jaodan 805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
57	56	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
58	17, 57	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
59	58	ralrimiv 2614	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
60		ffnfv 5835	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
61	1, 59, 60	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
62	61	frnd 5518	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
63		fzoss2 10508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
64	10, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
65	64	sselda 3238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
66		fnfvelrn 5809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
67	1, 65, 66	syl2an2r 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
68	19, 67	eqeltrrd 2310	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
69	68	ralrimiva 2615	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
70		ffnfv 5835	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
71	22, 69, 70	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
72	71	frnd 5518	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
73		ccatval3 11287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
74	73	3expa 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
75		elfzouz 10485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
76	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
77		uzaddcl 9918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
78	75, 76, 77	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
79		nn0addcl 9531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
80	2, 8, 79	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
81	80	nn0zd 9698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
82	81	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
83		elfzonn0 10525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
84	83	nn0cnd 9555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
85	2	nn0cnd 9555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87		addcom 8410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
88	84, 86, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
89	83	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
91	46	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
92	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
93		elfzolt2 10491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
95	90, 91, 92, 94	ltadd2dd 8696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + 𝑥) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
96	88, 95	eqbrtrd 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
97		elfzo2 10484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
98	78, 82, 96, 97	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
99		fnfvelrn 5809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
100	1, 98, 99	syl2an2r 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
101	74, 100	eqeltrrd 2310	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
102	101	ralrimiva 2615	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
103		ffnfv 5835	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
104	31, 102, 103	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
105	104	frnd 5518	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
106	72, 105	unssd 3395	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
107	62, 106	eqssd 3255	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ∪ cun 3209   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  ran crn 4750   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   + caddc 8130   < clt 8308   − cmin 8444  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279

This theorem is referenced by: (None)