Theorem 1stccn 23441

Description: A mapping 𝑋⟶𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
1stccn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccn.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
2		1stccnp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		1stccnp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cncnp 23258	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
6	1, 5	mpbirand 708	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
7	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
8		1stccnp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	9, 10, 11, 12	1stccnp 23440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
14	7, 13	mpbirand 708	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
15	14	ralbidva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
16		ralcom4 3264	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))
17		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
19		r19.21v 3163	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
21		df-ral 3053	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
22		lmcl 23275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23	2, 22	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑋))
25	24	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
26	25	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
27		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
28	26, 27	bitr2di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
29	28	albidv 1922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
30	21, 29	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
31	30	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
32	20, 31	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
33	32	albidv 1922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
34	16, 33	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
35	6, 15, 34	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℕcn 12168  TopOnctopon 22888   Cn ccn 23202   CnP ccnp 23203  ⇝_𝑡clm 23204  1^stωc1stc 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-topgen 17400  df-top 22872  df-topon 22889  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-lm 23207  df-1stc 23417

This theorem is referenced by:  metcn4  25291