Theorem 1stccn 22522

Description: A mapping 𝑋⟶𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
1stccn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccn.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
2		1stccnp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		1stccnp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cncnp 22339	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
6	1, 5	mpbirand 703	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
7	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
8		1stccnp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	9, 10, 11, 12	1stccnp 22521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
14	7, 13	mpbirand 703	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
15	14	ralbidva 3119	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
16		ralcom4 3161	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))
17		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbii 3090	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
19		r19.21v 3100	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
20	18, 19	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
21		df-ral 3068	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
22		lmcl 22356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23	2, 22	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑋))
25	24	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
26	25	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
27		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
28	26, 27	bitr2di 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
29	28	albidv 1924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
30	21, 29	syl5bb 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
31	30	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
32	20, 31	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
33	32	albidv 1924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
34	16, 33	syl5bb 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
35	6, 15, 34	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℕcn 11903  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283   CnP ccnp 22284  ⇝_𝑡clm 22285  1^stωc1stc 22496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-1stc 22498

This theorem is referenced by:  metcn4  24380