Theorem 1stccn 23356

Description: A mapping 𝑋⟶𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
1stccn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccn.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
2		1stccnp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		1stccnp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cncnp 23173	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
6	1, 5	mpbirand 707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
7	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
8		1stccnp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	9, 10, 11, 12	1stccnp 23355	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
14	7, 13	mpbirand 707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
15	14	ralbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
16		ralcom4 3264	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))
17		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
19		r19.21v 3159	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
21		df-ral 3046	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
22		lmcl 23190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23	2, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑋))
25	24	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
26	25	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
27		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
28	26, 27	bitr2di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
29	28	albidv 1920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
30	21, 29	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
31	30	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
32	20, 31	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
33	32	albidv 1920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
34	16, 33	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
35	6, 15, 34	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5109   ∘ ccom 5644  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℕcn 12187  TopOnctopon 22803   Cn ccn 23117   CnP ccnp 23118  ⇝_𝑡clm 23119  1^stωc1stc 23330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-topgen 17412  df-top 22787  df-topon 22804  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-lm 23122  df-1stc 23332

This theorem is referenced by:  metcn4  25217