Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stccn 22109
 Description: A mapping 𝑋⟶𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (𝜑𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
1stccn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccn.7 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
2 1stccnp.2 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 1stccnp.3 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4 cncnp 21926 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
52, 3, 4syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
61, 5mpbirand 706 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
71adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋𝑌)
8 1stccnp.1 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ 1stω)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
102adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
113adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
139, 10, 11, 121stccnp 22108 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
147, 13mpbirand 706 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
1514ralbidva 3161 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
16 ralcom4 3198 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑓𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))
17 impexp 454 . . . . . . 7 (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
1817ralbii 3133 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
19 r19.21v 3142 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
2018, 19bitri 278 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
21 df-ral 3111 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
22 lmcl 21943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
232, 22sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
2423ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥𝑥𝑋))
2524pm4.71rd 566 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
2625imbi1d 345 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ((𝑥𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
27 impexp 454 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
2826, 27syl6rbb 291 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
2928albidv 1921 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥(𝑥𝑋 → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
3021, 29syl5bb 286 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))))
3130imbi2d 344 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥𝑋 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
3220, 31syl5bb 286 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
3332albidv 1921 . . 3 (𝜑 → (∀𝑓𝑥𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
3416, 33syl5bb 286 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
356, 15, 343bitrd 308 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5034   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℕcn 11643  TopOnctopon 21556   Cn ccn 21870   CnP ccnp 21871  ⇝𝑡clm 21872  1stωc1stc 22083 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-topgen 16729  df-top 21540  df-topon 21557  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-lm 21875  df-1stc 22085 This theorem is referenced by:  metcn4  23956
 Copyright terms: Public domain W3C validator