MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stccn 23380
Description: A mapping π‘‹βŸΆπ‘Œ, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to π‘₯, its image under 𝐹 converges to 𝐹(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
1stccnp.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1stccnp.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1stccn.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Assertion
Ref Expression
1stccn (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,π‘₯   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝑓,𝐾,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯   𝑓,π‘Œ,π‘₯

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccn.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
2 1stccnp.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 1stccnp.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 cncnp 23197 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
52, 3, 4syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
61, 5mpbirand 706 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
71adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
8 1stccnp.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
102adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
113adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
12 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
139, 10, 11, 121stccnp 23379 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
147, 13mpbirand 706 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
1514ralbidva 3172 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
16 ralcom4 3280 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))
17 impexp 450 . . . . . . 7 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
1817ralbii 3090 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
19 r19.21v 3176 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
21 df-ral 3059 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
22 lmcl 23214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
232, 22sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
2524pm4.71rd 562 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
2625imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
27 impexp 450 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2826, 27bitr2di 288 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2928albidv 1916 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
3021, 29bitrid 283 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
3130imbi2d 340 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3220, 31bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3332albidv 1916 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3416, 33bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
356, 15, 343bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1532   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„•cn 12243  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   CnP ccnp 23142  β‡π‘‘clm 23143  1stΟ‰c1stc 23354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-topgen 17425  df-top 22809  df-topon 22826  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-lm 23146  df-1stc 23356
This theorem is referenced by:  metcn4  25252
  Copyright terms: Public domain W3C validator