MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stccn 23311
Description: A mapping π‘‹βŸΆπ‘Œ, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to π‘₯, its image under 𝐹 converges to 𝐹(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
1stccnp.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1stccnp.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1stccn.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Assertion
Ref Expression
1stccn (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,π‘₯   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝑓,𝐾,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯   𝑓,π‘Œ,π‘₯

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccn.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
2 1stccnp.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 1stccnp.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 cncnp 23128 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
52, 3, 4syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
61, 5mpbirand 704 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
71adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
8 1stccnp.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
102adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
113adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
12 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
139, 10, 11, 121stccnp 23310 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
147, 13mpbirand 704 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
1514ralbidva 3167 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
16 ralcom4 3275 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))
17 impexp 450 . . . . . . 7 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
1817ralbii 3085 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
19 r19.21v 3171 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
21 df-ral 3054 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
22 lmcl 23145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
232, 22sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
2524pm4.71rd 562 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
2625imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
27 impexp 450 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2826, 27bitr2di 288 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2928albidv 1915 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
3021, 29bitrid 283 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
3130imbi2d 340 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3220, 31bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3332albidv 1915 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3416, 33bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
356, 15, 343bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   class class class wbr 5139   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„•cn 12211  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072   CnP ccnp 23073  β‡π‘‘clm 23074  1stΟ‰c1stc 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-topgen 17394  df-top 22740  df-topon 22757  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-lm 23077  df-1stc 23287
This theorem is referenced by:  metcn4  25183
  Copyright terms: Public domain W3C validator