Theorem 1stccn 23378

Description: A mapping 𝑋⟶𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
1stccn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccn.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
2		1stccnp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		1stccnp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cncnp 23195	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
6	1, 5	mpbirand 707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
7	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
8		1stccnp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	9, 10, 11, 12	1stccnp 23377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
14	7, 13	mpbirand 707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
15	14	ralbidva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
16		ralcom4 3258	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))
17		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbii 3078	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
19		r19.21v 3157	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
20	18, 19	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
21		df-ral 3048	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
22		lmcl 23212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23	2, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑋))
25	24	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
26	25	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
27		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
28	26, 27	bitr2di 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
29	28	albidv 1921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
30	21, 29	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
31	30	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
32	20, 31	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
33	32	albidv 1921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
34	16, 33	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
35	6, 15, 34	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5089   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℕcn 12125  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23139   CnP ccnp 23140  ⇝_𝑡clm 23141  1^stωc1stc 23352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-topgen 17347  df-top 22809  df-topon 22826  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-lm 23144  df-1stc 23354

This theorem is referenced by:  metcn4  25238