MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stccn 22837
Description: A mapping π‘‹βŸΆπ‘Œ, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to π‘₯, its image under 𝐹 converges to 𝐹(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
1stccnp.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1stccnp.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1stccn.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
Assertion
Ref Expression
1stccn (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,π‘₯   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝑓,𝐾,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯   𝑓,π‘Œ,π‘₯

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccn.7 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
2 1stccnp.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 1stccnp.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 cncnp 22654 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯))))
61, 5mpbirand 706 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯)))
71adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
8 1stccnp.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ 1stΟ‰)
102adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
113adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
12 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
139, 10, 11, 121stccnp 22836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
147, 13mpbirand 706 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
1514ralbidva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
16 ralcom4 3268 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))
17 impexp 452 . . . . . . 7 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
1817ralbii 3093 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
19 r19.21v 3173 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2018, 19bitri 275 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
21 df-ral 3062 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
22 lmcl 22671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
232, 22sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2423ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
2524pm4.71rd 564 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)))
2625imbi1d 342 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
27 impexp 452 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2826, 27bitr2di 288 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
2928albidv 1924 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
3021, 29bitrid 283 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))))
3130imbi2d 341 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3220, 31bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3332albidv 1924 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
3416, 33bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
356, 15, 343bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆ€π‘₯(𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ β†’ (𝐹 ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„•cn 12161  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   CnP ccnp 22599  β‡π‘‘clm 22600  1stΟ‰c1stc 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-1stc 22813
This theorem is referenced by:  metcn4  24698
  Copyright terms: Public domain W3C validator