Theorem metcn4 23915

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous. Theorem 10.3 of [Munkres] p. 128. (Contributed by NM, 13-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcnp4.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcn4.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
metcn4	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐶   𝐷,𝑓,𝑥   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Proof of Theorem metcn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnp4.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metcnp4.3	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
3	2	met1stc 23128	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1stω)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1stω)
5	2	mopntopon 23046	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		metcnp4.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		metcnp4.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
9	8	mopntopon 23046	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11		metcn4.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
12	4, 6, 10, 11	1stccn 22068	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℕcn 11625  ∞Metcxmet 20076  MetOpencmopn 20081  TopOnctopon 21515   Cn ccn 21829  ⇝_𝑡clm 21831  1^stωc1stc 22042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-lm 21834  df-1stc 22044

This theorem is referenced by: (None)