Theorem metcn4 23479

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous. Theorem 10.3 of [Munkres] p. 128. (Contributed by NM, 13-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcnp4.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcn4.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
metcn4	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐶   𝐷,𝑓,𝑥   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Proof of Theorem metcn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnp4.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metcnp4.3	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
3	2	met1stc 22696	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
5	2	mopntopon 22614	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		metcnp4.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8		metcnp4.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
9	8	mopntopon 22614	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11		metcn4.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
12	4, 6, 10, 11	1stccn 21637	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198  ∀wal 1656   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873   ∘ ccom 5346  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℕcn 11350  ∞Metcxmet 20091  MetOpencmopn 20096  TopOnctopon 21085   Cn ccn 21399  ⇝_𝑡clm 21401  1^st𝜔c1stc 21611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-card 9078  df-acn 9081  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-fz 12620  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-lm 21404  df-1stc 21613

This theorem is referenced by: (None)