Theorem 7prm 17165

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12328	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12429	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12309	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12517	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12239	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t3e6 12402	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
7	6	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
8		df-7 12303	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
10		1lt2 12408	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
12		3nn 12315	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		2nn0 12516	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		3t2e6 12401	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
15	14	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
16	15, 8	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
17		1lt3 12411	. . 3 ⊢ 1 < 3
18	12, 13, 5, 16, 17	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
19		5nn0 12519	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
20		7nn0 12521	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21		7lt10 12845	. . 3 ⊢ 7 < ;10
22	3, 19, 20, 21	declti 12749	. 2 ⊢ 7 < ;25
23	1, 2, 11, 18, 22	prmlem1 17162	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  3c3 12291  5c5 12293  6c6 12294  7c7 12295  ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725

This theorem is referenced by:  bpos1  27447  ex-mod  30800  ex-prmo  30810  60gcd7e1  42772  m3prm  48344  nnsum3primesle9  48559