Theorem 7prm 17148

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12358	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12457	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12544	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 12347	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12432	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 11270	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 12334	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12437	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 12345	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12543	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12439	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12546	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12548	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12866	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12771	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 17145	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  bpos1  27327  ex-mod  30468  ex-prmo  30478  60gcd7e1  42006  m3prm  47579  nnsum3primesle9  47781