Theorem 7prm 17022

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12217	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12311	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12198	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12399	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12136	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 12206	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12200	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12286	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 11121	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 12193	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2757	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12291	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 12204	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12398	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2757	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12293	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12401	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12403	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12721	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12626	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 17019	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  3c3 12181  5c5 12183  6c6 12184  7c7 12185  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  bpos1  27221  ex-mod  30429  ex-prmo  30439  60gcd7e1  42046  m3prm  47631  nnsum3primesle9  47833