Theorem 7prm 17145

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12356	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12455	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12337	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12542	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12275	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12430	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 12332	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12435	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 12343	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12541	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12437	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12544	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12546	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12864	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12769	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 17142	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  bpos1  27342  ex-mod  30478  ex-prmo  30488  60gcd7e1  41987  m3prm  47517  nnsum3primesle9  47719