Theorem 7prm 16540

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 11801	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 11900	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 11782	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 11987	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 11720	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 11790	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 11784	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 11875	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 10721	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7174	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 11777	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2764	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 11880	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 15850	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 11788	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 11986	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7174	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2764	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 11882	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 15850	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 11989	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 11991	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12305	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12210	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 16537	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7164  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  2c2 11764  3c3 11765  5c5 11767  6c6 11768  7c7 11769  ℙcprime 16105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-prm 16106

This theorem is referenced by:  bpos1  26011  ex-mod  28378  ex-prmo  28388  60gcd7e1  39622  m3prm  44562  nnsum3primesle9  44764