Theorem 7prm 17169

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12332	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12433	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12313	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12521	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12243	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 12321	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12405	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 11217	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7421	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 12307	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12412	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 12319	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12520	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7421	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12415	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16469	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12523	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12525	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12849	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12753	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 17166	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  2c2 12294  3c3 12295  5c5 12297  6c6 12298  7c7 12299  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  bpos1  27412  ex-mod  30740  ex-prmo  30750  60gcd7e1  42661  m3prm  48232  nnsum3primesle9  48447