Theorem 7prm 17146

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12310	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12411	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12291	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12499	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 12299	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12293	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12383	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 11191	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7406	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 12285	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12390	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 12297	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12498	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7406	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12393	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12501	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12503	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12827	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12731	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 17143	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  2c2 12272  3c3 12273  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  bpos1  27344  ex-mod  30648  ex-prmo  30658  60gcd7e1  42619  m3prm  48198  nnsum3primesle9  48413