Theorem 7prm 16740

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 11995	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12094	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 11976	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12181	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 11984	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 11978	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12069	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 10915	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 11971	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12074	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 11982	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12180	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12076	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12183	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12185	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12499	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12404	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 16737	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  bpos1  26336  ex-mod  28714  ex-prmo  28724  60gcd7e1  39941  m3prm  44932  nnsum3primesle9  45134