Theorem 7prm 17022

Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
7prm	⊢ 7 ∈ ℙ

Proof of Theorem 7prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12220	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		1lt7 12314	. 2 ⊢ 1 < 7
3		2nn 12201	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		3nn0 12402	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		1nn 12139	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		3cn 12209	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12203	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		3t2e6 12289	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
9	6, 7, 8	mulcomli 11124	. . . . 5 ⊢ (2 · 3) = 6
10	9	oveq1i 7359	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
11		df-7 12196	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
12	10, 11	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
13		1lt2 12294	. . 3 ⊢ 1 < 2
14	3, 4, 5, 12, 13	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
15		3nn 12207	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
16		2nn0 12401	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	8	oveq1i 7359	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
18	17, 11	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
19		1lt3 12296	. . 3 ⊢ 1 < 3
20	15, 16, 5, 18, 19	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 7
21		5nn0 12404	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		7nn0 12406	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		7lt10 12724	. . 3 ⊢ 7 < ;10
24	3, 21, 22, 23	declti 12629	. 2 ⊢ 7 < ;25
25	1, 2, 14, 20, 24	prmlem1 17019	1 ⊢ 7 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183  3c3 12184  5c5 12186  6c6 12187  7c7 12188  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  bpos1  27192  ex-mod  30393  ex-prmo  30403  60gcd7e1  41978  m3prm  47576  nnsum3primesle9  47778