Theorem 17prm 16453

Description: 17 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
17prm	⊢ ;17 ∈ ℙ

Proof of Theorem 17prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		7nn 11732	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12121	. 2 ⊢ ;17 ∈ ℕ
4		1nn 11652	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		7nn0 11922	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1lt10 12240	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12139	. 2 ⊢ 1 < ;17
8		3nn0 11918	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		3t2e6 11806	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
10		df-7 11708	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16402	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;17
12		3nn 11719	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		5nn0 11920	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		2nn 11713	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		2nn0 11917	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5cn 11728	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
17		3cn 11721	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5t3e15 12202	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
19	16, 17, 18	mulcomli 10653	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
20		5p2e7 11796	. . . 4 ⊢ (5 + 2) = 7
21	1, 13, 15, 19, 20	decaddi 12161	. . 3 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
22		2lt3 11812	. . 3 ⊢ 2 < 3
23	12, 13, 14, 21, 22	ndvdsi 15766	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;17
24		7lt10 12234	. . 3 ⊢ 7 < ;10
25		1lt2 11811	. . 3 ⊢ 1 < 2
26	1, 15, 5, 13, 24, 25	decltc 12130	. 2 ⊢ ;17 < ;25
27	3, 7, 11, 23, 26	prmlem1 16444	1 ⊢ ;17 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7159  1c1 10541   · cmul 10545  2c2 11695  3c3 11696  5c5 11698  6c6 11699  7c7 11700  ;cdc 12101  ℙcprime 16018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-prm 16019

This theorem is referenced by:  fmtno2prm  43729