Theorem 17prm 17044

Description: 17 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
17prm	⊢ ;17 ∈ ℙ

Proof of Theorem 17prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		7nn 12237	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12627	. 2 ⊢ ;17 ∈ ℕ
4		1nn 12156	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		7nn0 12423	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1lt10 12746	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12645	. 2 ⊢ 1 < ;17
8		3nn0 12419	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		3t2e6 12306	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
10		df-7 12213	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16991	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;17
12		3nn 12224	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		5nn0 12421	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		2nn 12218	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		2nn0 12418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5cn 12233	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
17		3cn 12226	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5t3e15 12708	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
19	16, 17, 18	mulcomli 11141	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
20		5p2e7 12296	. . . 4 ⊢ (5 + 2) = 7
21	1, 13, 15, 19, 20	decaddi 12667	. . 3 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
22		2lt3 12312	. . 3 ⊢ 2 < 3
23	12, 13, 14, 21, 22	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;17
24		7lt10 12740	. . 3 ⊢ 7 < ;10
25		1lt2 12311	. . 3 ⊢ 1 < 2
26	1, 15, 5, 13, 24, 25	decltc 12636	. 2 ⊢ ;17 < ;25
27	3, 7, 11, 23, 26	prmlem1 17035	1 ⊢ ;17 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  ;cdc 12607  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  fmtno2prm  47806