Theorem 17prm 16863

Description: 17 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
17prm	⊢ ;17 ∈ ℙ

Proof of Theorem 17prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12295	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		7nn 12111	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12503	. 2 ⊢ ;17 ∈ ℕ
4		1nn 12030	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		7nn0 12301	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1lt10 12622	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12521	. 2 ⊢ 1 < ;17
8		3nn0 12297	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		3t2e6 12185	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
10		df-7 12087	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 16809	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;17
12		3nn 12098	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		5nn0 12299	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		2nn 12092	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		2nn0 12296	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5cn 12107	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
17		3cn 12100	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5t3e15 12584	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
19	16, 17, 18	mulcomli 11030	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
20		5p2e7 12175	. . . 4 ⊢ (5 + 2) = 7
21	1, 13, 15, 19, 20	decaddi 12543	. . 3 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
22		2lt3 12191	. . 3 ⊢ 2 < 3
23	12, 13, 14, 21, 22	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;17
24		7lt10 12616	. . 3 ⊢ 7 < ;10
25		1lt2 12190	. . 3 ⊢ 1 < 2
26	1, 15, 5, 13, 24, 25	decltc 12512	. 2 ⊢ ;17 < ;25
27	3, 7, 11, 23, 26	prmlem1 16854	1 ⊢ ;17 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  1c1 10918   · cmul 10922  2c2 12074  3c3 12075  5c5 12077  6c6 12078  7c7 12079  ;cdc 12483  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-prm 16422

This theorem is referenced by:  fmtno2prm  45070