Theorem 17prm 17077

Description: 17 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
17prm	⊢ ;17 ∈ ℙ

Proof of Theorem 17prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12510	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		7nn 12326	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12719	. 2 ⊢ ;17 ∈ ℕ
4		1nn 12245	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		7nn0 12516	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
6		1lt10 12838	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 12737	. 2 ⊢ 1 < ;17
8		3nn0 12512	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		3t2e6 12400	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
10		df-7 12302	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 17023	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;17
12		3nn 12313	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		5nn0 12514	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		2nn 12307	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		2nn0 12511	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5cn 12322	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
17		3cn 12315	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5t3e15 12800	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
19	16, 17, 18	mulcomli 11245	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
20		5p2e7 12390	. . . 4 ⊢ (5 + 2) = 7
21	1, 13, 15, 19, 20	decaddi 12759	. . 3 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
22		2lt3 12406	. . 3 ⊢ 2 < 3
23	12, 13, 14, 21, 22	ndvdsi 16380	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;17
24		7lt10 12832	. . 3 ⊢ 7 < ;10
25		1lt2 12405	. . 3 ⊢ 1 < 2
26	1, 15, 5, 13, 24, 25	decltc 12728	. 2 ⊢ ;17 < ;25
27	3, 7, 11, 23, 26	prmlem1 17068	1 ⊢ ;17 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  1c1 11131   · cmul 11135  2c2 12289  3c3 12290  5c5 12292  6c6 12293  7c7 12294  ;cdc 12699  ℙcprime 16633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-prm 16634

This theorem is referenced by:  fmtno2prm  46823