MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem2 26835
Description: Closure lemmas for quart 26838. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
Assertion
Ref Expression
quartlem2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem2
StepHypRef Expression
1 quart.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
2 quart.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quart.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 quart.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
7 quart.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
8 quart.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8quart1cl 26831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
109simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1110sqcld 14144 . . . 4 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
12 1nn0 12521 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
13 2nn 12318 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1412, 13decnncl 12730 . . . . . 6 12 ∈ ℕ
1514nncni 12255 . . . . 5 12 ∈ ℂ
169simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
17 mulcl 11224 . . . . 5 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
1815, 16, 17sylancr 585 . . . 4 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
1911, 18addcld 11265 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) ∈ ℂ)
201, 19eqeltrd 2825 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
21 quart.v . . 3 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
22 2cn 12320 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
23 3nn0 12523 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
24 expcl 14080 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
2510, 23, 24sylancl 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
26 mulcl 11224 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
2722, 25, 26sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
2827negcld 11590 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
29 2nn0 12522 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
30 7nn 12337 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ
3129, 30decnncl 12730 . . . . . . 7 27 ∈ ℕ
3231nncni 12255 . . . . . 6 27 ∈ ℂ
339simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3433sqcld 14144 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
35 mulcl 11224 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
3632, 34, 35sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
3728, 36subcld 11603 . . . 4 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) ∈ ℂ)
38 7nn0 12527 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
3938, 13decnncl 12730 . . . . . 6 72 ∈ ℕ
4039nncni 12255 . . . . 5 72 ∈ ℂ
4110, 16mulcld 11266 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
42 mulcl 11224 . . . . 5 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
4340, 41, 42sylancr 585 . . . 4 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
4437, 43addcld 11265 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
4521, 44eqeltrd 2825 . 2 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
46 quart.w . . 3 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
4745sqcld 14144 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℂ)
48 4cn 12330 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
49 expcl 14080 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
5020, 23, 49sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
51 mulcl 11224 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑈↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
5248, 50, 51sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
5347, 52subcld 11603 . . . 4 (𝜑 → ((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
5453sqrtcld 15420 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
5546, 54eqeltrd 2825 . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
5620, 45, 553jca 1125 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  7c7 12305  8c8 12306  0cn0 12505  cdc 12710  cexp 14062  csqrt 15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219
This theorem is referenced by:  quartlem3  26836  quart  26838
  Copyright terms: Public domain W3C validator