MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem2 26224
Description: Closure lemmas for quart 26227. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quart.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
quart.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
quart.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
quart.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
quart.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
Assertion
Ref Expression
quartlem2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quartlem2
StepHypRef Expression
1 quart.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
2 quart.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 quart.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quart.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quart.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 quart.p . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
7 quart.q . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
8 quart.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8quart1cl 26220 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
109simp1d 1143 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1110sqcld 14056 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
13 2nn 12233 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
1412, 13decnncl 12645 . . . . . 6 12 โˆˆ โ„•
1514nncni 12170 . . . . 5 12 โˆˆ โ„‚
169simp3d 1145 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11142 . . . . 5 ((12 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (12 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
1815, 16, 17sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (12 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
1911, 18addcld 11181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
201, 19eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
21 quart.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
22 2cn 12235 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
23 3nn0 12438 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
24 expcl 13992 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2510, 23, 24sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
26 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2722, 25, 26sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2827negcld 11506 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
29 2nn0 12437 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
30 7nn 12252 . . . . . . . 8 7 โˆˆ โ„•
3129, 30decnncl 12645 . . . . . . 7 27 โˆˆ โ„•
3231nncni 12170 . . . . . 6 27 โˆˆ โ„‚
339simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3433sqcld 14056 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
35 mulcl 11142 . . . . . 6 ((27 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3632, 34, 35sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3728, 36subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
38 7nn0 12442 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„•0
3938, 13decnncl 12645 . . . . . 6 72 โˆˆ โ„•
4039nncni 12170 . . . . 5 72 โˆˆ โ„‚
4110, 16mulcld 11182 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11142 . . . . 5 ((72 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚) โ†’ (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
4340, 41, 42sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
4437, 43addcld 11181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„‚)
4521, 44eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
46 quart.w . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
4745sqcld 14056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
48 4cn 12245 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
49 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
5020, 23, 49sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
51 mulcl 11142 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
5248, 50, 51sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
5347, 52subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
5453sqrtcld 15329 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))) โˆˆ โ„‚)
5546, 54eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
5620, 45, 553jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  quartlem3  26225  quart  26227
  Copyright terms: Public domain W3C validator