MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem2 26808
Description: Closure lemmas for quart 26811. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quart.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
quart.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
quart.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
quart.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
quart.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
Assertion
Ref Expression
quartlem2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quartlem2
StepHypRef Expression
1 quart.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
2 quart.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 quart.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quart.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quart.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 quart.p . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
7 quart.q . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
8 quart.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8quart1cl 26804 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
109simp1d 1139 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1110sqcld 14140 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 1nn0 12518 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
13 2nn 12315 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
1412, 13decnncl 12727 . . . . . 6 12 โˆˆ โ„•
1514nncni 12252 . . . . 5 12 โˆˆ โ„‚
169simp3d 1141 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11222 . . . . 5 ((12 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (12 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
1815, 16, 17sylancr 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (12 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
1911, 18addcld 11263 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
201, 19eqeltrd 2825 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
21 quart.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
22 2cn 12317 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
23 3nn0 12520 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
24 expcl 14076 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2510, 23, 24sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
26 mulcl 11222 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2722, 25, 26sylancr 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2827negcld 11588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
29 2nn0 12519 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
30 7nn 12334 . . . . . . . 8 7 โˆˆ โ„•
3129, 30decnncl 12727 . . . . . . 7 27 โˆˆ โ„•
3231nncni 12252 . . . . . 6 27 โˆˆ โ„‚
339simp2d 1140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3433sqcld 14140 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
35 mulcl 11222 . . . . . 6 ((27 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3632, 34, 35sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3728, 36subcld 11601 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
38 7nn0 12524 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„•0
3938, 13decnncl 12727 . . . . . 6 72 โˆˆ โ„•
4039nncni 12252 . . . . 5 72 โˆˆ โ„‚
4110, 16mulcld 11264 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11222 . . . . 5 ((72 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚) โ†’ (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
4340, 41, 42sylancr 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
4437, 43addcld 11263 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„‚)
4521, 44eqeltrd 2825 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
46 quart.w . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
4745sqcld 14140 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
48 4cn 12327 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
49 expcl 14076 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
5020, 23, 49sylancl 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
51 mulcl 11222 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
5248, 50, 51sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
5347, 52subcld 11601 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
5453sqrtcld 15416 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))) โˆˆ โ„‚)
5546, 54eqeltrd 2825 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
5620, 45, 553jca 1125 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  7c7 12302  8c8 12303  โ„•0cn0 12502  cdc 12707  โ†‘cexp 14058  โˆšcsqrt 15212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215
This theorem is referenced by:  quartlem3  26809  quart  26811
  Copyright terms: Public domain W3C validator