MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem2 26745
Description: Closure lemmas for quart 26748. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quart.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = -(๐ด / 4))
quart.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
quart.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
quart.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
quart.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
Assertion
Ref Expression
quartlem2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quartlem2
StepHypRef Expression
1 quart.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)))
2 quart.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 quart.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quart.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quart.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 quart.p . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
7 quart.q . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
8 quart.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8quart1cl 26741 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
109simp1d 1139 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1110sqcld 14114 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 1nn0 12492 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
13 2nn 12289 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
1412, 13decnncl 12701 . . . . . 6 12 โˆˆ โ„•
1514nncni 12226 . . . . 5 12 โˆˆ โ„‚
169simp3d 1141 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11196 . . . . 5 ((12 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (12 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
1815, 16, 17sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (12 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
1911, 18addcld 11237 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) + (12 ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
201, 19eqeltrd 2827 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
21 quart.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))))
22 2cn 12291 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
23 3nn0 12494 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
24 expcl 14050 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2510, 23, 24sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
26 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2722, 25, 26sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
2827negcld 11562 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
29 2nn0 12493 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
30 7nn 12308 . . . . . . . 8 7 โˆˆ โ„•
3129, 30decnncl 12701 . . . . . . 7 27 โˆˆ โ„•
3231nncni 12226 . . . . . 6 27 โˆˆ โ„‚
339simp2d 1140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3433sqcld 14114 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
35 mulcl 11196 . . . . . 6 ((27 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘„โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3632, 34, 35sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3728, 36subcld 11575 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
38 7nn0 12498 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„•0
3938, 13decnncl 12701 . . . . . 6 72 โˆˆ โ„•
4039nncni 12226 . . . . 5 72 โˆˆ โ„‚
4110, 16mulcld 11238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11196 . . . . 5 ((72 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚) โ†’ (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
4340, 41, 42sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
4437, 43addcld 11237 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((-(2 ยท (๐‘ƒโ†‘3)) โˆ’ (27 ยท (๐‘„โ†‘2))) + (72 ยท (๐‘ƒ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„‚)
4521, 44eqeltrd 2827 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
46 quart.w . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))))
4745sqcld 14114 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
48 4cn 12301 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
49 expcl 14050 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
5020, 23, 49sylancl 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
51 mulcl 11196 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
5248, 50, 51sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
5347, 52subcld 11575 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
5453sqrtcld 15390 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜((๐‘‰โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘ˆโ†‘3)))) โˆˆ โ„‚)
5546, 54eqeltrd 2827 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
5620, 45, 553jca 1125 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  โ„•0cn0 12476  cdc 12681  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  quartlem3  26746  quart  26748
  Copyright terms: Public domain W3C validator