Theorem fmtno5nprm 47587

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12625	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12625	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12625	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12625	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12239	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12630	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12625	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12158	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12630	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12630	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12749	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12648	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12230	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12630	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12648	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 47586	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16619	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3032	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3029  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  4c4 12204  5c5 12205  6c6 12206  7c7 12207  ;cdc 12610  ℙcprime 16601  FermatNocfmtno 47531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-rp 12913  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-dvds 16183  df-prm 16602  df-fmtno 47532

This theorem is referenced by: (None)