Theorem fmtno5nprm 42024

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11516	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11517	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11715	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11510	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11715	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11715	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11514	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11715	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11511	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11715	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 11393	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 11721	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 11715	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 11234	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 11721	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 11721	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 11883	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 11749	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 11390	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 11721	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 11749	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 42023	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2780	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 15610	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3049	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3046  ‘cfv 6032  (class class class)co 6794  0cc0 10139  1c1 10140   · cmul 10144  4c4 11275  5c5 11276  6c6 11277  7c7 11278  ;cdc 11696  ℙcprime 15593  FermatNocfmtno 41968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-rp 12037  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-dvds 15191  df-prm 15594  df-fmtno 41969

This theorem is referenced by: (None)