Theorem fmtno5nprm 47745

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12413	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12613	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12407	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12613	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12411	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12408	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12228	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12147	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12618	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12737	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12636	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12219	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12618	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12636	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 47744	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16607	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3036	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3033  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  7c7 12196  ;cdc 12598  ℙcprime 16589  FermatNocfmtno 47689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-prm 16590  df-fmtno 47690

This theorem is referenced by: (None)