Theorem fmtno5nprm 42526

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11864	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 11663	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11864	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11864	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 11667	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11864	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 11664	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11864	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 11475	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 11870	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 11864	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 11391	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 11870	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 11870	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 11990	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 11888	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 11463	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 11870	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 11888	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 42525	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2787	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 15811	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3078	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3075  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279  4c4 11436  5c5 11437  6c6 11438  7c7 11439  ;cdc 11849  ℙcprime 15794  FermatNocfmtno 42470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-rp 12142  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-dvds 15392  df-prm 15795  df-fmtno 42471

This theorem is referenced by: (None)