Theorem fmtno5nprm 47557

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12437	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12254	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12173	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12645	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12764	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12663	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12245	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12645	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12663	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 47556	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16635	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3032	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3029  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  ;cdc 12625  ℙcprime 16617  FermatNocfmtno 47501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-fmtno 47502

This theorem is referenced by: (None)