Theorem fmtno5nprm 47189

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12736	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12531	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12736	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12736	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12535	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12736	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12532	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12736	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12348	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12741	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12736	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12267	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12741	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12741	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12860	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12759	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12339	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12741	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12759	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 47188	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2735	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16683	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3039	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3036  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  1c1 11148   · cmul 11152  4c4 12313  5c5 12314  6c6 12315  7c7 12316  ;cdc 12721  ℙcprime 16665  FermatNocfmtno 47133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-dvds 16250  df-prm 16666  df-fmtno 47134

This theorem is referenced by: (None)