Theorem fmtno5nprm 48941

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12661	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12665	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12662	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12475	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12386	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12999	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12466	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 48940	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16908	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3068	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∉ wnel 3065  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  ;cdc 12854  ℙcprime 16890  FermatNocfmtno 48885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891  df-fmtno 48886

This theorem is used by: (None)