Theorem fmtno5nprm 45279

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12502	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12502	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12502	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12302	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12502	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12299	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12502	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12115	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12507	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12502	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12034	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12507	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12507	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12626	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12525	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12106	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12507	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12525	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 45278	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16443	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3050	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3047  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10921  1c1 10922   · cmul 10926  4c4 12080  5c5 12081  6c6 12082  7c7 12083  ;cdc 12487  ℙcprime 16425  FermatNocfmtno 45223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-rp 12781  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-dvds 16013  df-prm 16426  df-fmtno 45224

This theorem is referenced by: (None)