Theorem fmtno5nprm 48153

Description: The 5 th Fermat number is a not a prime. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5nprm	⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Proof of Theorem fmtno5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		7nn0 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
4		0nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
7		4nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
9		1nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
11		7nn 12304	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ
13	1, 7	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
14		1nn 12215	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;;641 ∈ ℕ
16	8, 14	decnncl 12706	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ
17		1lt10 12827	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
18	16, 2, 9, 17	declti 12725	. . 3 ⊢ 1 < ;;;;;;6700417
19		4nn 12295	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
20	1, 19	decnncl 12706	. . . 4 ⊢ ;64 ∈ ℕ
21	20, 9, 9, 17	declti 12725	. . 3 ⊢ 1 < ;;641
22		fmtno5fac 48152	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)
23	22	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (FermatNo‘5)
24	12, 15, 18, 21, 23	nprmi 16714	. 2 ⊢ ¬ (FermatNo‘5) ∈ ℙ
25	24	nelir 3063	1 ⊢ (FermatNo‘5) ∉ ℙ

Syntax hints:   ∉ wnel 3060  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  ;cdc 12682  ℙcprime 16696  FermatNocfmtno 48097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697  df-fmtno 48098

This theorem is referenced by: (None)