Theorem lcm7un 40289

Description: Least common multiple of natural numbers up to 7 equals 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm7un	⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420

Proof of Theorem lcm7un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12166	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℕ → 7 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 40282	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℕ → (lcm‘(1...7)) = ((lcm‘(1...(7 − 1))) lcm 7))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ((lcm‘(1...(7 − 1))) lcm 7)
5		7m1e6 12206	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
6	5	oveq2i 7348	. . . . 5 ⊢ (1...(7 − 1)) = (1...6)
7	6	fveq2i 6828	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(7 − 1))) = (lcm‘(1...6))
8	7	oveq1i 7347	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(7 − 1))) lcm 7) = ((lcm‘(1...6)) lcm 7)
9		lcm6un 40288	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...6)) = ;60
10	9	oveq1i 7347	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...6)) lcm 7) = (;60 lcm 7)
11	8, 10	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(7 − 1))) lcm 7) = (;60 lcm 7)
12		60lcm7e420 40280	. 2 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420
13	4, 11, 12	3eqtri 2768	1 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  0cc0 10972  1c1 10973   − cmin 11306  ℕcn 12074  2c2 12129  4c4 12131  6c6 12133  7c7 12134  ;cdc 12538  ...cfz 13340   lcm clcm 16390  lcmclcmf 16391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-prod 15715  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-lcm 16392  df-lcmf 16393  df-prm 16474

This theorem is referenced by:  lcm8un  40290  lcmineqlem  40322