Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archiabllem1 32326
Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
archiabllem1.p (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
archiabllem1.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯   π‘₯, Β·   π‘₯, 0   π‘₯, <   π‘₯, ≀
Proof of Theorem archiabllem1
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 32208 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
4 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ β„€)
54zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ β„‚)
6 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
76zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
85, 7addcomd 11412 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘š + 𝑛) = (𝑛 + π‘š))
98oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ))
103ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘Š ∈ Grp)
11 archiabllem1.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 archiabllem.m . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1613, 14, 15mulgdir 18980 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
1710, 4, 6, 12, 16syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
1813, 14, 15mulgdir 18980 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
1910, 6, 4, 12, 18syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
209, 17, 193eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2120adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2221adantlr 713 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
24 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
2624, 25oveq12d 7423 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
2725, 24oveq12d 7423 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2823, 26, 273eqtr4d 2782 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
29 simplll 773 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ πœ‘)
30 simpr1r 1231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
31303anassrs 1360 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
32 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
33 archiabllem.e . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
34 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (ltβ€˜π‘Š)
35 archiabllem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
36 archiabllem1.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
37 archiabllem1.s . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
3813, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32325 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
3929, 31, 38syl2anc 584 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
4028, 39r19.29a 3162 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4113, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
4241adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
4340, 42r19.29a 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4443ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4513, 15isabl2 19652 . 2 (π‘Š ∈ Abel ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
463, 44, 45sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   + caddc 11109  β„€cz 12554  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  lecple 17200  0gc0g 17381  ltcplt 18257  Grpcgrp 18815  .gcmg 18944  Abelcabl 19643  oGrpcogrp 32203  Archicarchi 32310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-toset 18366  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-omnd 32204  df-ogrp 32205  df-inftm 32311  df-archi 32312
This theorem is referenced by:  archiabl  32331
  Copyright terms: Public domain W3C validator