Theorem archiabllem1 33147

Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥, ≤

Proof of Theorem archiabllem1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
2		ogrpgrp 33017	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
4		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
9	8	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
10	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11		archiabllem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝑊)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16	13, 14, 15	mulgdir 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
17	10, 4, 6, 12, 16	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
18	13, 14, 15	mulgdir 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	10, 6, 4, 12, 18	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
21	20	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
22	21	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
26	24, 25	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
27	25, 24	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g‘𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
28	23, 26, 27	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
29		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30		simpr1r 1232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	3anassrs 1361	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
34		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
35		archiabllem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
36		archiabllem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
37		archiabllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
38	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 33146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
39	29, 31, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
40	28, 39	r19.29a 3141	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
41	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 33146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
42	41	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
43	40, 42	r19.29a 3141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
44	43	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
45	13, 15	isabl2 19720	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦)))
46	3, 44, 45	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   + caddc 11071  ℤcz 12529  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  lecple 17227  0_gc0g 17402  ltcplt 18269  Grpcgrp 18865  ._gcmg 18999  Abelcabl 19711  oGrpcogrp 33012  Archicarchi 33131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-0g 17404  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-toset 18376  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-omnd 33013  df-ogrp 33014  df-inftm 33132  df-archi 33133

This theorem is referenced by:  archiabl  33152