Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem1 32029
Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥,

Proof of Theorem archiabllem1
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 31911 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
54zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
76zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
85, 7addcomd 11357 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
98oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
103ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11 archiabllem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐵)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈𝐵)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 archiabllem.m . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝑊)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1613, 14, 15mulgdir 18908 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
1710, 4, 6, 12, 16syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
1813, 14, 15mulgdir 18908 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
1910, 6, 4, 12, 18syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
209, 17, 193eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2120adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2221adantlr 713 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
2624, 25oveq12d 7375 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
2725, 24oveq12d 7375 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2823, 26, 273eqtr4d 2786 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
29 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30 simpr1r 1231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧𝐵)
31303anassrs 1360 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧𝐵)
32 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
33 archiabllem.e . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
34 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
35 archiabllem.a . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
36 archiabllem1.p . . . . . . 7 (𝜑0 < 𝑈)
37 archiabllem1.s . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
3813, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32028 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
3929, 31, 38syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
4028, 39r19.29a 3159 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4113, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32028 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
4241adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
4340, 42r19.29a 3159 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4443ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4513, 15isabl2 19572 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦)))
463, 44, 45sylanbrc 583 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357   + caddc 11054  cz 12499  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  lecple 17140  0gc0g 17321  ltcplt 18197  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  Abelcabl 19563  oGrpcogrp 31906  Archicarchi 32013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-omnd 31907  df-ogrp 31908  df-inftm 32014  df-archi 32015
This theorem is referenced by:  archiabl  32034
  Copyright terms: Public domain W3C validator