Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archiabllem1 32380
Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
archiabllem1.p (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
archiabllem1.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯   π‘₯, Β·   π‘₯, 0   π‘₯, <   π‘₯, ≀
Proof of Theorem archiabllem1
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 32262 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
4 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ β„€)
54zcnd 12669 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ β„‚)
6 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
76zcnd 12669 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
85, 7addcomd 11418 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘š + 𝑛) = (𝑛 + π‘š))
98oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ))
103ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘Š ∈ Grp)
11 archiabllem1.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 archiabllem.m . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1613, 14, 15mulgdir 18988 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
1710, 4, 6, 12, 16syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
1813, 14, 15mulgdir 18988 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
1910, 6, 4, 12, 18syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
209, 17, 193eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2120adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2221adantlr 713 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
24 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
2624, 25oveq12d 7429 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
2725, 24oveq12d 7429 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2823, 26, 273eqtr4d 2782 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
29 simplll 773 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ πœ‘)
30 simpr1r 1231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
31303anassrs 1360 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
32 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
33 archiabllem.e . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
34 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (ltβ€˜π‘Š)
35 archiabllem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
36 archiabllem1.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
37 archiabllem1.s . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
3813, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
3929, 31, 38syl2anc 584 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
4028, 39r19.29a 3162 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4113, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32379 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
4241adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
4340, 42r19.29a 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4443ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4513, 15isabl2 19660 . 2 (π‘Š ∈ Abel ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
463, 44, 45sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   + caddc 11115  β„€cz 12560  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  lecple 17206  0gc0g 17387  ltcplt 18263  Grpcgrp 18821  .gcmg 18952  Abelcabl 19651  oGrpcogrp 32257  Archicarchi 32364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-0g 17389  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-toset 18372  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-omnd 32258  df-ogrp 32259  df-inftm 32365  df-archi 32366
This theorem is referenced by:  archiabl  32385
  Copyright terms: Public domain W3C validator