Theorem archiabllem1 33454

Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥, ≤

Proof of Theorem archiabllem1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
2		ogrpgrp 20195	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
4		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
9	8	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
10	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11		archiabllem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝑊)
15		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16	13, 14, 15	mulgdir 19172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
17	10, 4, 6, 12, 16	syl13anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
18	13, 14, 15	mulgdir 19172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	10, 6, 4, 12, 18	syl13anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
21	20	adantllr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
22	21	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
23	22	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
26	24, 25	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
27	25, 24	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g‘𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
28	23, 26, 27	3eqtr4d 2814	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
29		simplll 786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30		simpr1r 1248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	3anassrs 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
34		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
35		archiabllem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
36		archiabllem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
37		archiabllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
38	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 33453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
39	29, 31, 38	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
40	28, 39	r19.29a 3179	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
41	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 33453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
42	41	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
43	40, 42	r19.29a 3179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
44	43	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
45	13, 15	isabl2 19860	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦)))
46	3, 44, 45	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   + caddc 11103  ℤcz 12591  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  lecple 17317  0_gc0g 17492  ltcplt 18364  Grpcgrp 19000  ._gcmg 19133  Abelcabl 19851  oGrpcogrp 20190  Archicarchi 33438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-0g 17494  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-toset 18471  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-omnd 20191  df-ogrp 20192  df-inftm 33439  df-archi 33440

This theorem is referenced by:  archiabl  33459