Theorem archiabllem1 30494

Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥, ≤

Proof of Theorem archiabllem1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
2		ogrpgrp 30428	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
4		simplr 756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 11901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 11901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 10642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
9	8	oveq1d 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
10	3	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11		archiabllem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝑊)
15		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16	13, 14, 15	mulgdir 18043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
17	10, 4, 6, 12, 16	syl13anc 1352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
18	13, 14, 15	mulgdir 18043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	10, 6, 4, 12, 18	syl13anc 1352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
21	20	adantllr 706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
22	21	adantlr 702	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
23	22	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24		simpllr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
26	24, 25	oveq12d 6994	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
27	25, 24	oveq12d 6994	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g‘𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
28	23, 26, 27	3eqtr4d 2824	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
29		simplll 762	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30		simpr1r 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	3anassrs 1340	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
34		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
35		archiabllem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
36		archiabllem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
37		archiabllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
38	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 30493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
39	29, 31, 38	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
40	28, 39	r19.29a 3234	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
41	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 30493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
42	41	adantrr 704	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
43	40, 42	r19.29a 3234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
44	43	ralrimivva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
45	13, 15	isabl2 18674	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦)))
46	3, 44, 45	sylanbrc 575	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  ∃wrex 3089   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   + caddc 10338  ℤcz 11793  Basecbs 16339  +_gcplusg 16421  lecple 16428  0_gc0g 16569  ltcplt 17409  Grpcgrp 17891  ._gcmg 18011  Abelcabl 18667  oGrpcogrp 30423  Archicarchi 30478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-seq 13185  df-0g 16571  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-toset 17502  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-omnd 30424  df-ogrp 30425  df-inftm 30479  df-archi 30480

This theorem is referenced by:  archiabl  30499