Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archiabllem1 32339
Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
archiabllem1.p (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
archiabllem1.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯   π‘₯, Β·   π‘₯, 0   π‘₯, <   π‘₯, ≀
Proof of Theorem archiabllem1
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 32221 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
4 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ β„€)
54zcnd 12667 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘š ∈ β„‚)
6 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
76zcnd 12667 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
85, 7addcomd 11416 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘š + 𝑛) = (𝑛 + π‘š))
98oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ))
103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘Š ∈ Grp)
11 archiabllem1.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 archiabllem.m . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
1613, 14, 15mulgdir 18986 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
1710, 4, 6, 12, 16syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· π‘ˆ) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
1813, 14, 15mulgdir 18986 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
1910, 6, 4, 12, 18syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
209, 17, 193eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2120adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2221adantlr 714 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2322adantr 482 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
24 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
25 simpr 486 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
2624, 25oveq12d 7427 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = ((π‘š Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘ˆ)))
2725, 24oveq12d 7427 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = ((𝑛 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
2823, 26, 273eqtr4d 2783 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
29 simplll 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ πœ‘)
30 simpr1r 1232 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
31303anassrs 1361 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
32 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
33 archiabllem.e . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
34 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (ltβ€˜π‘Š)
35 archiabllem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
36 archiabllem1.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
37 archiabllem1.s . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
3813, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32338 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
3929, 31, 38syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑧 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
4028, 39r19.29a 3163 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4113, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 32338 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
4241adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 𝑦 = (π‘š Β· π‘ˆ))
4340, 42r19.29a 3163 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4443ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
4513, 15isabl2 19658 . 2 (π‘Š ∈ Abel ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑧(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
463, 44, 45sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   + caddc 11113  β„€cz 12558  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  lecple 17204  0gc0g 17385  ltcplt 18261  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  Abelcabl 19649  oGrpcogrp 32216  Archicarchi 32323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-omnd 32217  df-ogrp 32218  df-inftm 32324  df-archi 32325
This theorem is referenced by:  archiabl  32344
  Copyright terms: Public domain W3C validator