Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem1 33201
Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥,

Proof of Theorem archiabllem1
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 33081 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
54zcnd 12725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
76zcnd 12725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
85, 7addcomd 11464 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
98oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
103ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11 archiabllem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐵)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈𝐵)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 archiabllem.m . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝑊)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1613, 14, 15mulgdir 19125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
1710, 4, 6, 12, 16syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
1813, 14, 15mulgdir 19125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
1910, 6, 4, 12, 18syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
209, 17, 193eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2120adantllr 719 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2221adantlr 715 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25 simpr 484 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
2624, 25oveq12d 7450 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
2725, 24oveq12d 7450 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
2823, 26, 273eqtr4d 2786 . . . . 5 ((((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
29 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30 simpr1r 1231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧𝐵)
31303anassrs 1360 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧𝐵)
32 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
33 archiabllem.e . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
34 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
35 archiabllem.a . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
36 archiabllem1.p . . . . . . 7 (𝜑0 < 𝑈)
37 archiabllem1.s . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
3813, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 33200 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
3929, 31, 38syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
4028, 39r19.29a 3161 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4113, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37archiabllem1b 33200 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
4241adantrr 717 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
4340, 42r19.29a 3161 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4443ralrimivva 3201 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦))
4513, 15isabl2 19809 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑧(+g𝑊)𝑦)))
463, 44, 45sylanbrc 583 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432   + caddc 11159  cz 12615  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  lecple 17305  0gc0g 17485  ltcplt 18355  Grpcgrp 18952  .gcmg 19086  Abelcabl 19800  oGrpcogrp 33076  Archicarchi 33185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-toset 18463  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-omnd 33077  df-ogrp 33078  df-inftm 33186  df-archi 33187
This theorem is referenced by:  archiabl  33206
  Copyright terms: Public domain W3C validator