Theorem archiabllem1 33581

Description: Archimedean ordered groups with a minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥, 0   𝑥, <   𝑥, ≤

Proof of Theorem archiabllem1

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
2		ogrpgrp 20243	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
4		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
8	5, 7	addcomd 11431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
9	8	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈))
10	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Grp)
11		archiabllem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝑊)
15		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16	13, 14, 15	mulgdir 19220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
17	10, 4, 6, 12, 16	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝑈) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
18	13, 14, 15	mulgdir 19220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	10, 6, 4, 12, 18	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
21	20	adantllr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
22	21	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
24		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
25		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
26	24, 25	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = ((𝑚 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑛 · 𝑈)))
27	25, 24	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑧(+g‘𝑊)𝑦) = ((𝑛 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
28	23, 26, 27	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
29		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝜑)
30		simpr1r 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	3anassrs 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
33		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
34		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
35		archiabllem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
36		archiabllem1.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
37		archiabllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
38	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 33580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
39	29, 31, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = (𝑛 · 𝑈))
40	28, 39	r19.29a 3175	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
41	13, 32, 33, 34, 14, 1, 35, 11, 36, 37	archiabllem1b 33580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
42	41	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑈))
43	40, 42	r19.29a 3175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
44	43	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦))
45	13, 15	isabl2 19908	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑊)𝑦)))
46	3, 44, 45	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   + caddc 11122  ℤcz 12610  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336  lecple 17343  0_gc0g 17518  ltcplt 18390  Grpcgrp 19048  ._gcmg 19181  Abelcabl 19899  oGrpcogrp 20238  Archicarchi 33565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-seq 14060  df-0g 17520  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-toset 18497  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-mulg 19182  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-omnd 20239  df-ogrp 20240  df-inftm 33566  df-archi 33567

This theorem is used by:  archiabl  33586