Theorem catcbas 18097

Description: Set of objects of the category of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcbas.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
catcbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))

Proof of Theorem catcbas

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Cat) = (𝑈 ∩ Cat))
4		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦)))
5		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓))) = (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓))))
6	1, 2, 3, 4, 5	catcval 18096	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓)))⟩})
7		catstr 17955	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓)))⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
8		baseid 17190	. 2 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
9		snsstp1 4824	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓)))⟩}
10		inex1g 5323	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Cat) ∈ V)
11	2, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Cat) ∈ V)
12		catcbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13	6, 7, 8, 9, 11, 12	strfv3 17181	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∩ cin 3948  {ctp 4636  ⟨cop 4638   × cxp 5680  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  2^nd c2nd 7998  1c1 11147  5c5 12308  ;cdc 12715  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  Hom chom 17251  compcco 17252  Catccat 17651   Func cfunc 17847   ∘_func ccofu 17849  CatCatccatc 18094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-hom 17264  df-cco 17265  df-catc 18095

This theorem is referenced by:  catchomfval  18098  catccofval  18100  catccatid  18102  resscatc  18105  catcisolem  18106  catciso  18107  catcbascl  18108  catcoppccl  18113  catcoppcclOLD  18114  catcfuccl  18115  catcfucclOLD  18116  catcxpccl  18205  catcxpcclOLD  18206  yoniso  18284