Theorem catcbas 18060

Description: Set of objects of the category of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcbas.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
catcbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))

Proof of Theorem catcbas

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Cat) = (𝑈 ∩ Cat))
4		eqidd 2727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦)))
5		eqidd 2727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓))) = (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓))))
6	1, 2, 3, 4, 5	catcval 18059	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓)))⟩})
7		catstr 17918	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓)))⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
8		baseid 17153	. 2 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
9		snsstp1 4814	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝑈 ∩ Cat)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Cat), 𝑦 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑥 Func 𝑦))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ ((𝑈 ∩ Cat) × (𝑈 ∩ Cat)), 𝑧 ∈ (𝑈 ∩ Cat) ↦ (𝑔 ∈ ((2nd ‘𝑣) Func 𝑧), 𝑓 ∈ ( Func ‘𝑣) ↦ (𝑔 ∘func 𝑓)))⟩}
10		inex1g 5312	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Cat) ∈ V)
11	2, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Cat) ∈ V)
12		catcbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13	6, 7, 8, 9, 11, 12	strfv3 17144	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942  {ctp 4627  ⟨cop 4629   × cxp 5667  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  2^nd c2nd 7970  1c1 11110  5c5 12271  ;cdc 12678  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614   Func cfunc 17810   ∘_func ccofu 17812  CatCatccatc 18057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-hom 17227  df-cco 17228  df-catc 18058

This theorem is referenced by:  catchomfval  18061  catccofval  18063  catccatid  18065  resscatc  18068  catcisolem  18069  catciso  18070  catcbascl  18071  catcoppccl  18076  catcoppcclOLD  18077  catcfuccl  18078  catcfucclOLD  18079  catcxpccl  18168  catcxpcclOLD  18169  yoniso  18247