Theorem cvsdiveqd 25091

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsdiveqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cvsdiveqd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsdiveqd	⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem cvsdiveqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsdiveqd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
2	1	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 25035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	8, 11	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cvsdiveqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
14		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	10, 12, 13, 14	divcan6d 12041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) = 1)
16	15	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
17	5, 6	cvsdivcl 25089	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
18	3, 9, 11, 14, 17	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
19	5, 6	cvsdivcl 25089	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
20	3, 11, 9, 13, 19	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
21		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	22, 5, 23, 6	clmvsass 25045	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
25	4, 18, 20, 21, 24	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
26	22, 23	clmvs1 25049	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
27	4, 21, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
28	16, 25, 27	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)) = 𝑌)
29	2, 28	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   / cdiv 11899  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  ℂModcclm 25018  ℂVecccvs 25079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lvec 21066  df-cnfld 21321  df-clm 25019  df-cvs 25080

This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28869