Theorem cvsdiveqd 25042

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsdiveqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cvsdiveqd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsdiveqd	⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem cvsdiveqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsdiveqd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
2	1	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 24986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	8, 11	sseldd 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cvsdiveqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
14		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	10, 12, 13, 14	divcan6d 11984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) = 1)
16	15	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
17	5, 6	cvsdivcl 25040	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
18	3, 9, 11, 14, 17	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
19	5, 6	cvsdivcl 25040	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
20	3, 11, 9, 13, 19	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
21		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	22, 5, 23, 6	clmvsass 24996	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
25	4, 18, 20, 21, 24	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
26	22, 23	clmvs1 25000	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
27	4, 21, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
28	16, 25, 27	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)) = 𝑌)
29	2, 28	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  ℂModcclm 24969  ℂVecccvs 25030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lvec 21017  df-cnfld 21272  df-clm 24970  df-cvs 25031

This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28819