Theorem cvsdiveqd 25103

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsdiveqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
cvsdiveqd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsdiveqd	⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem cvsdiveqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsdiveqd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌))
2	1	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 25047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	8, 11	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cvsdiveqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
14		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	10, 12, 13, 14	divcan6d 11948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) = 1)
16	15	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
17	5, 6	cvsdivcl 25101	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
18	3, 9, 11, 14, 17	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾)
19	5, 6	cvsdivcl 25101	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
20	3, 11, 9, 13, 19	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
21		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	22, 5, 23, 6	clmvsass 25057	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
25	4, 18, 20, 21, 24	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐴 / 𝐵)) · 𝑌) = ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)))
26	22, 23	clmvs1 25061	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
27	4, 21, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
28	16, 25, 27	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · ((𝐴 / 𝐵) · 𝑌)) = 𝑌)
29	2, 28	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  ℂModcclm 25030  ℂVecccvs 25091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lvec 21067  df-cnfld 21322  df-clm 25031  df-cvs 25092

This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28969