Theorem cvsmuleqdivd 25079

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsmuleqdivd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsmuleqdivd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 25024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
12	10, 11	recid2d 12016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
13	12	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
14	5	clm1 25018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐹))
16	5	clmring 25015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18	6, 17	ringidcl 20206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
19	4, 16, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
20	15, 19	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
21	5, 6	cvsdivcl 25078	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
22	3, 20, 9, 11, 21	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23		cvsdiveqd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 5, 25, 6	clmvsass 25034	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	4, 22, 9, 23, 26	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 25	clmvs1 25038	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
29	4, 23, 28	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
30	13, 27, 29	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
32	8, 31	sseldd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32, 10, 11	divrec2d 12024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
34	33	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
36	24, 5, 25, 6	clmvsass 25034	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
37	4, 22, 31, 35, 36	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
38	34, 37	eqtr2d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
39	2, 30, 38	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143   / cdiv 11901  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  ℂModcclm 25007  ℂVecccvs 25068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lvec 20992  df-cnfld 21284  df-clm 25008  df-cvs 25069

This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28739