Theorem cvsmuleqdivd 24649

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsmuleqdivd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsmuleqdivd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 24641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 24594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
12	10, 11	recid2d 11985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
13	12	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
14	5	clm1 24588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐹))
16	5	clmring 24585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18	6, 17	ringidcl 20082	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
19	4, 16, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
20	15, 19	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
21	5, 6	cvsdivcl 24648	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
22	3, 20, 9, 11, 21	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23		cvsdiveqd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 5, 25, 6	clmvsass 24604	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	4, 22, 9, 23, 26	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 25	clmvs1 24608	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
29	4, 23, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
30	13, 27, 29	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
32	8, 31	sseldd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32, 10, 11	divrec2d 11993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
34	33	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
36	24, 5, 25, 6	clmvsass 24604	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
37	4, 22, 31, 35, 36	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
38	34, 37	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
39	2, 30, 38	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11870  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  ℂModcclm 24577  ℂVecccvs 24638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lvec 20713  df-cnfld 20944  df-clm 24578  df-cvs 24639

This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28139