MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsmuleqdivd 24520
Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cvsdiveqd.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cvsdiveqd.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cvsdiveqd.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cvsdiveqd.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
cvsdiveqd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
cvsmuleqdivd.1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd (πœ‘ β†’ 𝑋 = ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· π‘Œ))
21oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)))
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
43cvsclm 24512 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
75, 6clmsscn 24465 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
108, 9sseldd 3949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
1210, 11recid2d 11935 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
1312oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴) Β· 𝑋) = (1 Β· 𝑋))
145clm1 24459 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
165clmring 24456 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
186, 17ringidcl 19997 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
194, 16, 183syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2015, 19eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐾)
215, 6cvsdivcl 24519 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0)) β†’ (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
223, 20, 9, 11, 21syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23 cvsdiveqd.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 cvsdiveqd.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
25 cvsdiveqd.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2624, 5, 25, 6clmvsass 24475 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴) Β· 𝑋) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
274, 22, 9, 23, 26syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴) Β· 𝑋) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2824, 25clmvs1 24479 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
294, 23, 28syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
3013, 27, 293eqtr3d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = 𝑋)
31 cvsdiveqd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
328, 31sseldd 3949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3332, 10, 11divrec2d 11943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· 𝐡))
3433oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ) = (((1 / 𝐴) Β· 𝐡) Β· π‘Œ))
35 cvsdiveqd.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3624, 5, 25, 6clmvsass 24475 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐡) Β· π‘Œ) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)))
374, 22, 31, 35, 36syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐡) Β· π‘Œ) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)))
3834, 37eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)) = ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ))
392, 30, 383eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   / cdiv 11820  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  1rcur 19921  Ringcrg 19972  β„‚Modcclm 24448  β„‚Vecccvs 24509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lvec 20608  df-cnfld 20820  df-clm 24449  df-cvs 24510
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  27882
  Copyright terms: Public domain W3C validator