Theorem cvsmuleqdivd 25485

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsmuleqdivd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsmuleqdivd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7459	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25477	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 25430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
12	10, 11	recid2d 12116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
13	12	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
14	5	clm1 25424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐹))
16	5	clmring 25421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18	6, 17	ringidcl 20524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
19	4, 16, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
20	15, 19	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
21	5, 6	cvsdivcl 25484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
22	3, 20, 9, 11, 21	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23		cvsdiveqd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 5, 25, 6	clmvsass 25440	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	4, 22, 9, 23, 26	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 25	clmvs1 25444	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
29	4, 23, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
30	13, 27, 29	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
32	8, 31	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32, 10, 11	divrec2d 12124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
34	33	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
36	24, 5, 25, 6	clmvsass 25440	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
37	4, 22, 31, 35, 36	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
38	34, 37	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
39	2, 30, 38	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   / cdiv 12000  Basecbs 17416  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  ℂModcclm 25413  ℂVecccvs 25474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lvec 21408  df-cnfld 21709  df-clm 25414  df-cvs 25475

This theorem is used by:  ttgcontlem1  29492