Theorem cvsmuleqdivd 25456

Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiveqd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cvsdiveqd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cvsmuleqdivd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsmuleqdivd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
2	1	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3		cvsdiveqd.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		cvsdiveqd.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cvsdiveqd.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7	5, 6	clmsscn 25401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		cvsdiveqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11		cvsdiveqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
12	10, 11	recid2d 12090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
13	12	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
14	5	clm1 25395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
15	4, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐹))
16	5	clmring 25392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18	6, 17	ringidcl 20495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
19	4, 16, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
20	15, 19	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
21	5, 6	cvsdivcl 25455	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
22	3, 20, 9, 11, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23		cvsdiveqd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		cvsdiveqd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		cvsdiveqd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 5, 25, 6	clmvsass 25411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	4, 22, 9, 23, 26	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 25	clmvs1 25415	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
29	4, 23, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
30	13, 27, 29	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31		cvsdiveqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
32	8, 31	sseldd 3909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32, 10, 11	divrec2d 12098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
34	33	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35		cvsdiveqd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
36	24, 5, 25, 6	clmvsass 25411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
37	4, 22, 31, 35, 36	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
38	34, 37	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
39	2, 30, 38	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206   / cdiv 11974  Basecbs 17388  Scalarcsca 17432   ·_𝑠 cvsca 17433  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  ℂModcclm 25384  ℂVecccvs 25445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-addf 11280  ax-mulf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-subg 19334  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lvec 21379  df-cnfld 21680  df-clm 25385  df-cvs 25446

This theorem is used by:  ttgcontlem1  29463