MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsmuleqdivd 25016
Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cvsdiveqd.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cvsdiveqd.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cvsdiveqd.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cvsdiveqd.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
cvsdiveqd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
cvsdiveqd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
cvsdiveqd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
cvsmuleqdivd.1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd (πœ‘ β†’ 𝑋 = ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· π‘Œ))
21oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)))
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
43cvsclm 25008 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
75, 6clmsscn 24961 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
108, 9sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
1210, 11recid2d 11990 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
1312oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴) Β· 𝑋) = (1 Β· 𝑋))
145clm1 24955 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
165clmring 24952 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
186, 17ringidcl 20165 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
194, 16, 183syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2015, 19eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐾)
215, 6cvsdivcl 25015 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0)) β†’ (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
223, 20, 9, 11, 21syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23 cvsdiveqd.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 cvsdiveqd.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
25 cvsdiveqd.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2624, 5, 25, 6clmvsass 24971 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴) Β· 𝑋) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
274, 22, 9, 23, 26syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴) Β· 𝑋) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2824, 25clmvs1 24975 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
294, 23, 28syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
3013, 27, 293eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = 𝑋)
31 cvsdiveqd.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
328, 31sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3332, 10, 11divrec2d 11998 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) Β· 𝐡))
3433oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ) = (((1 / 𝐴) Β· 𝐡) Β· π‘Œ))
35 cvsdiveqd.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3624, 5, 25, 6clmvsass 24971 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐡) Β· π‘Œ) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)))
374, 22, 31, 35, 36syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐡) Β· π‘Œ) = ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)))
3834, 37eqtr2d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) Β· (𝐡 Β· π‘Œ)) = ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ))
392, 30, 383eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = ((𝐡 / 𝐴) Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  1rcur 20086  Ringcrg 20138  β„‚Modcclm 24944  β„‚Vecccvs 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951  df-cnfld 21241  df-clm 24945  df-cvs 25006
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28650
  Copyright terms: Public domain W3C validator