MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsmuleqdivd 24632
Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t · = ( ·𝑠𝑊)
cvsdiveqd.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a (𝜑𝐴𝐾)
cvsdiveqd.b (𝜑𝐵𝐾)
cvsdiveqd.x (𝜑𝑋𝑉)
cvsdiveqd.y (𝜑𝑌𝑉)
cvsdiveqd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd (𝜑𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
21oveq2d 7420 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
43cvsclm 24624 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
75, 6clmsscn 24577 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐾)
108, 9sseldd 3982 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1210, 11recid2d 11982 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
1312oveq1d 7419 . . 3 (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
145clm1 24571 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (1r𝐹))
165clmring 24568 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
186, 17ringidcl 20073 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
194, 16, 183syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2015, 19eqeltrd 2834 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
215, 6cvsdivcl 24631 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾𝐴𝐾𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
223, 20, 9, 11, 21syl13anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23 cvsdiveqd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
24 cvsdiveqd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 cvsdiveqd.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
2624, 5, 25, 6clmvsass 24587 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
274, 22, 9, 23, 26syl13anc 1373 . . 3 (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2824, 25clmvs1 24591 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
294, 23, 28syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
3013, 27, 293eqtr3d 2781 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31 cvsdiveqd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐾)
328, 31sseldd 3982 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3332, 10, 11divrec2d 11990 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
3433oveq1d 7419 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35 cvsdiveqd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
3624, 5, 25, 6clmvsass 24587 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾𝐵𝐾𝑌𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
374, 22, 31, 35, 36syl13anc 1373 . . 3 (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3834, 37eqtr2d 2774 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
392, 30, 383eqtr3d 2781 1 (𝜑𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wss 3947  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11867  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  1rcur 19996  Ringcrg 20047  ℂModcclm 24560  ℂVecccvs 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lvec 20702  df-cnfld 20930  df-clm 24561  df-cvs 24622
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  28122
  Copyright terms: Public domain W3C validator