MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsmuleqdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsmuleqdivd 24031
Description: An equality involving ratios in a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiveqd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cvsdiveqd.t · = ( ·𝑠𝑊)
cvsdiveqd.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiveqd.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cvsdiveqd.w (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
cvsdiveqd.a (𝜑𝐴𝐾)
cvsdiveqd.b (𝜑𝐵𝐾)
cvsdiveqd.x (𝜑𝑋𝑉)
cvsdiveqd.y (𝜑𝑌𝑉)
cvsdiveqd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
cvsmuleqdivd.1 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cvsmuleqdivd (𝜑𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))

Proof of Theorem cvsmuleqdivd
StepHypRef Expression
1 cvsmuleqdivd.1 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑌))
21oveq2d 7229 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3 cvsdiveqd.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
43cvsclm 24023 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
5 cvsdiveqd.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 cvsdiveqd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
75, 6clmsscn 23976 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
9 cvsdiveqd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐾)
108, 9sseldd 3902 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
11 cvsdiveqd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1210, 11recid2d 11604 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
1312oveq1d 7228 . . 3 (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
145clm1 23970 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (1r𝐹))
165clmring 23967 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
17 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
186, 17ringidcl 19586 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
194, 16, 183syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2015, 19eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
215, 6cvsdivcl 24030 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (1 ∈ 𝐾𝐴𝐾𝐴 ≠ 0)) → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
223, 20, 9, 11, 21syl13anc 1374 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ 𝐾)
23 cvsdiveqd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
24 cvsdiveqd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 cvsdiveqd.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
2624, 5, 25, 6clmvsass 23986 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
274, 22, 9, 23, 26syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐴) · 𝑋) = ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2824, 25clmvs1 23990 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
294, 23, 28syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
3013, 27, 293eqtr3d 2785 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
31 cvsdiveqd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐾)
328, 31sseldd 3902 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3332, 10, 11divrec2d 11612 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · 𝐵))
3433oveq1d 7228 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌) = (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌))
35 cvsdiveqd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
3624, 5, 25, 6clmvsass 23986 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((1 / 𝐴) ∈ 𝐾𝐵𝐾𝑌𝑉)) → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
374, 22, 31, 35, 36syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → (((1 / 𝐴) · 𝐵) · 𝑌) = ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)))
3834, 37eqtr2d 2778 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
392, 30, 383eqtr3d 2785 1 (𝜑𝑋 = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wss 3866  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   / cdiv 11489  Basecbs 16760  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  1rcur 19516  Ringcrg 19562  ℂModcclm 23959  ℂVecccvs 24020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lvec 20140  df-cnfld 20364  df-clm 23960  df-cvs 24021
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  26976
  Copyright terms: Public domain W3C validator