MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnring 20819
Description: The complex numbers form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnring fld ∈ Ring

Proof of Theorem cnring
StepHypRef Expression
1 cncrng 20818 . 2 fld ∈ CRing
2 crngring 19976 . 2 (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 1 fld ∈ Ring
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  fldccnfld 20796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-cring 19967  df-cnfld 20797
This theorem is referenced by:  cnfld0  20821  cnfld1  20822  cnfldneg  20823  cnfldsub  20825  cndrng  20826  cnflddiv  20827  cnfldinv  20828  cnfldmulg  20829  cnfldexp  20830  cnsrng  20831  cnsubmlem  20845  cnsubglem  20846  cnsubrglem  20847  cnsubdrglem  20848  absabv  20854  cnmgpid  20859  gsumfsum  20864  expmhm  20866  nn0srg  20867  rge0srg  20868  expghm  20896  zrhpsgnmhm  20988  regsumsupp  21026  mhpmulcl  21539  cnngp  24143  cnfldtgp  24232  cnlmod  24503  cnrlmod  24506  cnncvsaddassdemo  24527  cphsubrglem  24541  tdeglem1  25420  tdeglem1OLD  25421  tdeglem3  25422  tdeglem3OLD  25423  tdeglem4  25424  tdeglem4OLD  25425  tdeglem2  25426  plypf1  25573  dvply2  25646  dvnply  25648  taylfvallem  25717  taylf  25720  tayl0  25721  taylpfval  25724  taylply  25728  efabl  25906  efsubm  25907  jensenlem1  26336  jensenlem2  26337  jensen  26338  amgmlem  26339  amgm  26340  wilthlem2  26418  wilthlem3  26419  dchrelbas3  26586  dchrghm  26604  dchrabs  26608  lgseisenlem4  26726  psgnid  31946  cnmsgn0g  31995  altgnsg  31998  fermltlchr  32154  znfermltl  32155  ccfldsrarelvec  32355  xrge0iifmhm  32520  zringnm  32539  rezh  32552  mhphflem  40756  rngunsnply  41486  proot1ex  41514  amgm2d  42461  amgm3d  42462  amgm4d  42463  amgmwlem  47239  amgmlemALT  47240  amgmw2d  47241
  Copyright terms: Public domain W3C validator