Theorem cnring 20164

Description: The complex numbers form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnring	⊢ ℂfld ∈ Ring

Proof of Theorem cnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 20163	. 2 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 18945	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ℂfld ∈ Ring

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935  ℂ_fldccnfld 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ring 18936  df-cring 18937  df-cnfld 20143

This theorem is referenced by:  cnfld0  20166  cnfld1  20167  cnfldneg  20168  cnfldsub  20170  cndrng  20171  cnflddiv  20172  cnfldinv  20173  cnfldmulg  20174  cnfldexp  20175  cnsrng  20176  cnsubmlem  20190  cnsubglem  20191  cnsubrglem  20192  cnsubdrglem  20193  absabv  20199  cnmgpid  20204  gsumfsum  20209  expmhm  20211  nn0srg  20212  rge0srg  20213  expghm  20240  zrhpsgnmhm  20325  regsumsupp  20365  cnngp  22991  cnfldtgp  23080  cnlmod  23347  cnrlmod  23350  cnncvsaddassdemo  23370  cphsubrglem  23384  tdeglem1  24255  tdeglem3  24256  tdeglem4  24257  tdeglem2  24258  plypf1  24405  dvply2  24478  dvnply  24480  taylfvallem  24549  taylf  24552  tayl0  24553  taylpfval  24556  taylply  24560  efabl  24734  efsubm  24735  jensenlem1  25165  jensenlem2  25166  jensen  25167  amgmlem  25168  amgm  25169  wilthlem2  25247  wilthlem3  25248  dchrelbas3  25415  dchrghm  25433  dchrabs  25437  lgseisenlem4  25555  psgnid  30445  xrge0iifmhm  30583  zringnm  30602  rezh  30613  rngunsnply  38684  proot1ex  38720  amgm2d  39439  amgm3d  39440  amgm4d  39441  amgmwlem  43636  amgmlemALT  43637  amgmw2d  43638