Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1f2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1f2 20852
 Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1f2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1f2 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)

Proof of Theorem coe1f2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1f2.p . . . 4 𝑃 = (PwSer1𝑅)
2 coe1f2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1f2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3psr1basf 20844 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶𝐾)
5 df1o2 8106 . . . . 5 1o = {∅}
6 nn0ex 11898 . . . . 5 0 ∈ V
7 0ex 5176 . . . . 5 ∅ ∈ V
8 eqid 2798 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
95, 6, 7, 8mapsnf1o3 8449 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o)
10 f1of 6594 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o)
12 fco 6508 . . 3 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
134, 11, 12sylancl 589 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
14 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1514, 2, 1, 8coe1fval3 20851 . . 3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
1615feq1d 6475 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐴:ℕ0𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾))
1713, 16mpbird 260 1 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6323  –1-1-onto→wf1o 6326  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  1oc1o 8085   ↑m cmap 8396  ℕ0cn0 11892  Basecbs 16482  PwSer1cps1 20818  coe1cco1 20821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-tset 16583  df-ple 16584  df-psr 20604  df-opsr 20608  df-psr1 20823  df-coe1 20826 This theorem is referenced by:  coe1f  20854  coe1mul2  20912
 Copyright terms: Public domain W3C validator