MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1f2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1f2 22072
Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1f2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1f2 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)

Proof of Theorem coe1f2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1f2.p . . . 4 𝑃 = (PwSer1𝑅)
2 coe1f2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1f2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3psr1basf 22064 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶𝐾)
5 df1o2 8469 . . . . 5 1o = {∅}
6 nn0ex 12477 . . . . 5 0 ∈ V
7 0ex 5298 . . . . 5 ∅ ∈ V
8 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
95, 6, 7, 8mapsnf1o3 8886 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o)
10 f1of 6824 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0m 1o) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o)
12 fco 6732 . . 3 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0m 1o)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
134, 11, 12sylancl 585 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
14 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1514, 2, 1, 8coe1fval3 22071 . . 3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
1615feq1d 6693 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐴:ℕ0𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾))
1713, 16mpbird 257 1 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4315  {csn 4621  cmpt 5222   × cxp 5665  ccom 5671  wf 6530  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534  (class class class)co 7402  1oc1o 8455  m cmap 8817  0cn0 12471  Basecbs 17149  PwSer1cps1 22038  coe1cco1 22041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-ple 17222  df-psr 21792  df-opsr 21796  df-psr1 22043  df-coe1 22046
This theorem is referenced by:  coe1f  22074  coe1mul2  22132
  Copyright terms: Public domain W3C validator