Theorem coe1f2 22251

Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1f2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1f2	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)

Proof of Theorem coe1f2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1f2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
2		coe1f2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	psr1basf 22243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐾)
5		df1o2 8439	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12484	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5256	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
9	5, 6, 7, 8	mapsnf1o3 8873	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o)
10		f1of 6802	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o)
12		fco 6712	. . 3 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾)
13	4, 11, 12	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾)
14		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
15	14, 2, 1, 8	coe1fval3 22250	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
16	15	feq1d 6669	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴:ℕ0⟶𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾))
17	13, 16	mpbird 259	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  {csn 4581   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6513  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1_oc1o 8425   ↑_m cmap 8803  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228  PwSer₁cps1 22217  coe₁cco1 22220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-ple 17289  df-psr 21941  df-opsr 21945  df-psr1 22222  df-coe1 22225

This theorem is referenced by:  coe1f  22253  coe1mul2  22312