Theorem coe1f2 22557

Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1f2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1f2	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)

Proof of Theorem coe1f2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1f2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
2		coe1f2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	psr1basf 22549	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐾)
5		df1o2 8511	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12639	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
9	5, 6, 7, 8	mapsnf1o3 8951	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶1-1onto(ℕ0 ↑m 1o)
10		f1of 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶1-1onto(ℕ0 ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o)
12		fco 6756	. . 3 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾)
13	4, 11, 12	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾)
14		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
15	14, 2, 1, 8	coe1fval3 22556	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
16	15	feq1d 6713	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴:ℕ0⟶𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾))
17	13, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  {csn 4588   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497   ↑_m cmap 8875  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  PwSer₁cps1 22523  coe₁cco1 22526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-tset 17476  df-ple 17477  df-psr 22247  df-opsr 22251  df-psr1 22528  df-coe1 22531

This theorem is used by:  coe1f  22559  coe1mul2  22618