MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1f2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1f2 20092
Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1f2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1f2 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)

Proof of Theorem coe1f2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1f2.p . . . 4 𝑃 = (PwSer1𝑅)
2 coe1f2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1f2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3psr1basf 20084 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶𝐾)
5 df1o2 7916 . . . . 5 1o = {∅}
6 nn0ex 11712 . . . . 5 0 ∈ V
7 0ex 5064 . . . . 5 ∅ ∈ V
8 eqid 2772 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
95, 6, 7, 8mapsnf1o3 8255 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1o)
10 f1of 6441 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1o) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1o))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1o)
12 fco 6358 . . 3 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1o)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
134, 11, 12sylancl 577 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾)
14 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1514, 2, 1, 8coe1fval3 20091 . . 3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
1615feq1d 6326 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐴:ℕ0𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0𝐾))
1713, 16mpbird 249 1 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  c0 4172  {csn 4435  cmpt 5004   × cxp 5401  ccom 5407  wf 6181  1-1-ontowf1o 6184  cfv 6185  (class class class)co 6974  1oc1o 7896  𝑚 cmap 8204  0cn0 11705  Basecbs 16337  PwSer1cps1 20058  coe1cco1 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-tset 16438  df-ple 16439  df-psr 19862  df-opsr 19866  df-psr1 20063  df-coe1 20066
This theorem is referenced by:  coe1f  20094  coe1mul2  20152
  Copyright terms: Public domain W3C validator