Theorem coe1f2 22128

Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1f2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1f2	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)

Proof of Theorem coe1f2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1f2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
2		coe1f2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	psr1basf 22120	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐾)
5		df1o2 8494	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12509	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5307	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
9	5, 6, 7, 8	mapsnf1o3 8914	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o)
10		f1of 6839	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑m 1o) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o))
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o)
12		fco 6747	. . 3 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾)
13	4, 11, 12	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾)
14		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
15	14, 2, 1, 8	coe1fval3 22127	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
16	15	feq1d 6707	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐴:ℕ0⟶𝐾 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))):ℕ0⟶𝐾))
17	13, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4323  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   × cxp 5676   ∘ ccom 5682  ⟶wf 6544  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1_oc1o 8480   ↑_m cmap 8845  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17180  PwSer₁cps1 22094  coe₁cco1 22097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-ple 17253  df-psr 21842  df-opsr 21846  df-psr1 22099  df-coe1 22102

This theorem is referenced by:  coe1f  22130  coe1mul2  22188