Theorem constrnegcl 34441

Description: Constructible numbers are closed under additive inverse. Item (2) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrnegcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrnegcl	⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12624	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 34439	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrnegcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1red 11312	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11746	. 2 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
7	4	constrcn 34438	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	negcld 11659	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
10	7	subid1d 11661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
11	10, 7	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -1 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ( -1 · (𝑋 − 0))) = ( -1 · (𝑋 − 0)))
14	11	mulm1d 11771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -1 · (𝑋 − 0)) = -(𝑋 − 0))
15	10	negeqd 11554	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 0) = -𝑋)
16	13, 14, 15	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (0 + ( -1 · (𝑋 − 0))))
17	7	absnegd 15624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘ -𝑋) = (abs‘𝑋))
18	8	subid1d 11661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -𝑋 − 0) = -𝑋)
19	18	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘( -𝑋 − 0)) = (abs‘ -𝑋))
20	10	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
21	17, 19, 20	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘( -𝑋 − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
22	3, 4, 3, 4, 3, 6, 8, 16, 21	constrlccl 34435	1 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545  ℕ₀cn0 12609  abscabs 15406  Constrcconstr 34407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-abs 15408  df-constr 34408

This theorem is used by:  zconstr  34442  iconstr  34444  constrremulcl  34445  constrimcl  34448  constrmulcl  34449  constrreinvcl  34450  constrsdrg  34453  constrresqrtcl  34455  constrsqrtcl  34457  cos9thpinconstrlem1  34467