Theorem constrnegcl 34377

Description: Constructible numbers are closed under additive inverse. Item (2) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrnegcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrnegcl	⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12602	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 34375	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrnegcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1red 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11724	. 2 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
7	4	constrcn 34374	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	negcld 11637	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
10	7	subid1d 11639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
11	10, 7	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + (-1 · (𝑋 − 0))) = (-1 · (𝑋 − 0)))
14	11	mulm1d 11749	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) = -(𝑋 − 0))
15	10	negeqd 11532	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 0) = -𝑋)
16	13, 14, 15	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (0 + (-1 · (𝑋 − 0))))
17	7	absnegd 15599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑋) = (abs‘𝑋))
18	8	subid1d 11639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑋 − 0) = -𝑋)
19	18	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘-𝑋))
20	10	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
21	17, 19, 20	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
22	3, 4, 3, 4, 3, 6, 8, 16, 21	constrlccl 34371	1 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕ₀cn0 12587  abscabs 15381  Constrcconstr 34343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-abs 15383  df-constr 34344

This theorem is used by:  zconstr  34378  iconstr  34380  constrremulcl  34381  constrimcl  34384  constrmulcl  34385  constrreinvcl  34386  constrsdrg  34389  constrresqrtcl  34391  constrsqrtcl  34393  cos9thpinconstrlem1  34403