Theorem constrnegcl 33907

Description: Constructible numbers are closed under additive inverse. Item (2) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrnegcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrnegcl	⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12452	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 33905	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrnegcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1red 11145	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11577	. 2 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
7	4	constrcn 33904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	negcld 11492	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
10	7	subid1d 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
11	10, 7	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11347	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + (-1 · (𝑋 − 0))) = (-1 · (𝑋 − 0)))
14	11	mulm1d 11602	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) = -(𝑋 − 0))
15	10	negeqd 11387	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 0) = -𝑋)
16	13, 14, 15	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (0 + (-1 · (𝑋 − 0))))
17	7	absnegd 15414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑋) = (abs‘𝑋))
18	8	subid1d 11494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑋 − 0) = -𝑋)
19	18	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘-𝑋))
20	10	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
21	17, 19, 20	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
22	3, 4, 3, 4, 3, 6, 8, 16, 21	constrlccl 33901	1 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378  ℕ₀cn0 12437  abscabs 15196  Constrcconstr 33873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-abs 15198  df-constr 33874

This theorem is referenced by:  zconstr  33908  iconstr  33910  constrremulcl  33911  constrimcl  33914  constrmulcl  33915  constrreinvcl  33916  constrsdrg  33919  constrresqrtcl  33921  constrsqrtcl  33923  cos9thpinconstrlem1  33933