Theorem constrnegcl 33743

Description: Constructible numbers are closed under additive inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrnegcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrnegcl	⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12524	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 33741	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrnegcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1red 11244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11672	. 2 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
7	4	constrcn 33740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	negcld 11589	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
10	7	subid1d 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
11	10, 7	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + (-1 · (𝑋 − 0))) = (-1 · (𝑋 − 0)))
14	11	mulm1d 11697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) = -(𝑋 − 0))
15	10	negeqd 11484	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 0) = -𝑋)
16	13, 14, 15	3eqtrrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (0 + (-1 · (𝑋 − 0))))
17	7	absnegd 15470	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑋) = (abs‘𝑋))
18	8	subid1d 11591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑋 − 0) = -𝑋)
19	18	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘-𝑋))
20	10	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
21	17, 19, 20	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
22	3, 4, 3, 4, 3, 6, 8, 16, 21	constrlccl 33737	1 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   − cmin 11474  -cneg 11475  ℕ₀cn0 12509  abscabs 15255  Constrcconstr 33709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-abs 15257  df-constr 33710

This theorem is referenced by:  zconstr  33744  iconstr  33746  constrremulcl  33747