Theorem constrnegcl 34021

Description: Constructible numbers are closed under additive inverse. Item (2) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrnegcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrnegcl	⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12493	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3	2	nn0constr 34019	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
4		constrnegcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5		1red 11179	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11611	. 2 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
7	4	constrcn 34018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
8	7	negcld 11526	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
10	7	subid1d 11528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
11	10, 7	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + (-1 · (𝑋 − 0))) = (-1 · (𝑋 − 0)))
14	11	mulm1d 11636	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝑋 − 0)) = -(𝑋 − 0))
15	10	negeqd 11421	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑋 − 0) = -𝑋)
16	13, 14, 15	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (0 + (-1 · (𝑋 − 0))))
17	7	absnegd 15462	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘-𝑋) = (abs‘𝑋))
18	8	subid1d 11528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑋 − 0) = -𝑋)
19	18	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘-𝑋))
20	10	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
21	17, 19, 20	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑋 − 0)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
22	3, 4, 3, 4, 3, 6, 8, 16, 21	constrlccl 34015	1 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  -cneg 11412  ℕ₀cn0 12478  abscabs 15244  Constrcconstr 33987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-abs 15246  df-constr 33988

This theorem is referenced by:  zconstr  34022  iconstr  34024  constrremulcl  34025  constrimcl  34028  constrmulcl  34029  constrreinvcl  34030  constrsdrg  34033  constrresqrtcl  34035  constrsqrtcl  34037  cos9thpinconstrlem1  34047