Theorem constrimcl 33775

Description: Constructible numbers are closed under taking the imaginary part. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrcjcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrimcl	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12475	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 33769	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 33769	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrcjcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 33765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	recld 15096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11060	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	6	imcld 15097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
14	6	replimd 15099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
15	8, 13, 14	mvrladdd 11525	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) = (i · (ℑ‘𝑋)))
16	6, 8	negsubd 11473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) = (𝑋 − (ℜ‘𝑋)))
17	5	constrrecl 33774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
18	17	constrnegcl 33768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
19	5, 18	constraddcl 33767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
20	16, 19	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
21	15, 20	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
22		1m0e1 12236	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
23		1cnd 11102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
26	25	addlidd 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))) = ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)))
27	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) = ((ℑ‘𝑋) · 1))
29	12	mulridd 11124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · 1) = (ℑ‘𝑋))
30	26, 28, 29	3eqtrrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) = (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))))
31	10, 12	absmuld 15359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
32		absi 15188	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
34	33	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
35	12	abscld 15341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
38	31, 34, 37	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
39	13	subid1d 11456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑋)) − 0) = (i · (ℑ‘𝑋)))
40	39	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))))
41	12	subid1d 11456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) − 0) = (ℑ‘𝑋))
42	41	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
43	38, 40, 42	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
44	2, 4, 2, 21, 2, 11, 12, 30, 43	constrlccl 33762	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002  ici 11003   + caddc 11004   · cmul 11006   − cmin 11339  -cneg 11340  ℜcre 14999  ℑcim 15000  abscabs 15136  Constrcconstr 33734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-constr 33735

This theorem is referenced by:  constrmulcl  33776