Theorem constrimcl 33756

Description: Constructible numbers are closed under taking the imaginary part. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrcjcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrimcl	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12502	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 33750	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12525	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 33750	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrcjcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 33746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	recld 15120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11087	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	6	imcld 15121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
14	6	replimd 15123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
15	8, 13, 14	mvrladdd 11552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) = (i · (ℑ‘𝑋)))
16	6, 8	negsubd 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) = (𝑋 − (ℜ‘𝑋)))
17	5	constrrecl 33755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
18	17	constrnegcl 33749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
19	5, 18	constraddcl 33748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
20	16, 19	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
21	15, 20	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
22		1m0e1 12263	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
23		1cnd 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrid 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
26	25	addlidd 11336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))) = ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)))
27	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) = ((ℑ‘𝑋) · 1))
29	12	mulridd 11151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · 1) = (ℑ‘𝑋))
30	26, 28, 29	3eqtrrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) = (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))))
31	10, 12	absmuld 15383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
32		absi 15212	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
34	33	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
35	12	abscld 15365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
38	31, 34, 37	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
39	13	subid1d 11483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑋)) − 0) = (i · (ℑ‘𝑋)))
40	39	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))))
41	12	subid1d 11483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) − 0) = (ℑ‘𝑋))
42	41	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
43	38, 40, 42	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
44	2, 4, 2, 21, 2, 11, 12, 30, 43	constrlccl 33743	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  -cneg 11367  ℜcre 15023  ℑcim 15024  abscabs 15160  Constrcconstr 33715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-constr 33716

This theorem is referenced by:  constrmulcl  33757