Theorem constrimcl 33930

Description: Constructible numbers are closed under taking the imaginary part. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrcjcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrimcl	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12527	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 33924	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 33924	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrcjcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 33920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	recld 15147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11088	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	6	imcld 15148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
14	6	replimd 15150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
15	8, 13, 14	mvrladdd 11554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) = (i · (ℑ‘𝑋)))
16	6, 8	negsubd 11502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) = (𝑋 − (ℜ‘𝑋)))
17	5	constrrecl 33929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
18	17	constrnegcl 33923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
19	5, 18	constraddcl 33922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
20	16, 19	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
21	15, 20	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
22		1m0e1 12288	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
23		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
26	25	addlidd 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))) = ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)))
27	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) = ((ℑ‘𝑋) · 1))
29	12	mulridd 11153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · 1) = (ℑ‘𝑋))
30	26, 28, 29	3eqtrrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) = (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))))
31	10, 12	absmuld 15410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
32		absi 15239	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
34	33	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
35	12	abscld 15392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
38	31, 34, 37	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
39	13	subid1d 11485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑋)) − 0) = (i · (ℑ‘𝑋)))
40	39	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))))
41	12	subid1d 11485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) − 0) = (ℑ‘𝑋))
42	41	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
43	38, 40, 42	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
44	2, 4, 2, 21, 2, 11, 12, 30, 43	constrlccl 33917	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369  ℜcre 15050  ℑcim 15051  abscabs 15187  Constrcconstr 33889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-constr 33890

This theorem is referenced by:  constrmulcl  33931