Theorem constrimcl 33733

Description: Constructible numbers are closed under taking the imaginary part. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrcjcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrimcl	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12517	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2	1	zconstr 33727	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
3		1zzd 12540	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	zconstr 33727	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
5		constrcjcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
6	5	constrcn 33723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7	6	recld 15136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11103	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	6	imcld 15137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
14	6	replimd 15139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
15	8, 13, 14	mvrladdd 11567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) = (i · (ℑ‘𝑋)))
16	6, 8	negsubd 11515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) = (𝑋 − (ℜ‘𝑋)))
17	5	constrrecl 33732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
18	17	constrnegcl 33726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
19	5, 18	constraddcl 33725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
20	16, 19	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (ℜ‘𝑋)) ∈ Constr)
21	15, 20	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
22		1m0e1 12278	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
23		1cnd 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	eqeltrid 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
25	12, 24	mulcld 11170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
26	25	addlidd 11351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))) = ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)))
27	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
28	27	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0)) = ((ℑ‘𝑋) · 1))
29	12	mulridd 11167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) · 1) = (ℑ‘𝑋))
30	26, 28, 29	3eqtrrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) = (0 + ((ℑ‘𝑋) · (1 − 0))))
31	10, 12	absmuld 15399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
32		absi 15228	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
34	33	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))))
35	12	abscld 15381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 11168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘(ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
38	31, 34, 37	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
39	13	subid1d 11498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑋)) − 0) = (i · (ℑ‘𝑋)))
40	39	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝑋))))
41	12	subid1d 11498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑋) − 0) = (ℑ‘𝑋))
42	41	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘(ℑ‘𝑋)))
43	38, 40, 42	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝑋) − 0)) = (abs‘((i · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
44	2, 4, 2, 21, 2, 11, 12, 30, 43	constrlccl 33720	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382  ℜcre 15039  ℑcim 15040  abscabs 15176  Constrcconstr 33692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-constr 33693

This theorem is referenced by:  constrmulcl  33734