Theorem cos9thpinconstr 34405

Description: Trisecting an angle is an impossible construction. Given for example 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)), which represents an angle of ((2 · π) / 3), the cube root of 𝑂 is not constructible with straightedge and compass, while 𝑂 itself is constructible. This is the second part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.14 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpinconstr.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminply.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpinconstr	⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Proof of Theorem cos9thpinconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpinconstr.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2	1	cos9thpinconstrlem1 34403	. 2 ⊢ 𝑂 ∈ Constr
3		cos9thpiminply.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (𝑍 + (1 / 𝑍))
5	1, 3, 4	cos9thpinconstrlem2 34404	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ∈ Constr)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3)))
8		ax-icn 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → i ∈ ℂ)
10		2cnd 12402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → π ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (2 · π) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		3cn 12405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ∈ ℂ)
17		3ne0 12433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcld 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ)
20	19	efcld 16229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
21	1, 20	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ∈ ℂ)
22	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
23	19	efne0d 16243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
24	22, 23	eqnetrd 3023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ≠ 0)
25	16, 18	reccld 12067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 3) ∈ ℂ)
26	21, 24, 25	cxpne0d 27023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
27	7, 26	eqnetrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ≠ 0)
28	6, 27	constrinvcl 34387	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 𝑍) ∈ Constr)
29	6, 28	constraddcl 34376	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr)
30	5, 29	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ Constr
31	30	nelir 3065	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ Constr
32	2, 31	pm3.2i 476	1 ⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3062  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  expce 16207  πcpi 16212  ↑_𝑐ccxp 26865  Constrcconstr 34343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-reg 9570  ax-inf2 9626  ax-ac2 10522  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-rpss 7728  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-r1 9752  df-rank 9753  df-scott 9910  df-dju 9963  df-card 10001  df-acn 10004  df-ac 10176  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-s1 14723  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-shft 15200  df-sgn 15220  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-pc 16995  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ocomp 17429  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-pws 17600  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-qus 17661  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-mri 17738  df-acs 17739  df-proset 18448  df-drs 18449  df-poset 18467  df-ipo 18682  df-chn 18760  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-nsg 19314  df-eqg 19315  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-srg 20393  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-irred 20569  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-nzr 20743  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-rlreg 20926  df-domn 20927  df-idom 20928  df-drng 20962  df-field 20963  df-sdrg 21024  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lmhm 21277  df-lmim 21278  df-lmic 21279  df-lbs 21330  df-lvec 21358  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-2idl 21523  df-lpidl 21626  df-lpir 21627  df-pid 21641  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-uvc 22069  df-lindf 22092  df-linds 22093  df-assa 22141  df-asp 22142  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-evls 22363  df-evl 22364  df-psr1 22478  df-vr1 22479  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-evls1 22613  df-evl1 22614  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-mdeg 26353  df-deg1 26354  df-mon1 26429  df-uc1p 26430  df-q1p 26431  df-r1p 26432  df-ig1p 26433  df-log 26866  df-cxp 26867  df-fldgen 33855  df-mxidl 33967  df-dim 34214  df-fldext 34255  df-extdg 34256  df-irng 34298  df-minply 34314  df-constr 34344

This theorem is used by:  trisecnconstr  34406