Theorem cos9thpinconstr 34049

Description: Trisecting an angle is an impossible construction. Given for example 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)), which represents an angle of ((2 · π) / 3), the cube root of 𝑂 is not constructible with straightedge and compass, while 𝑂 itself is constructible. This is the second part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.14 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpinconstr.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminply.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpinconstr	⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Proof of Theorem cos9thpinconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpinconstr.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2	1	cos9thpinconstrlem1 34047	. 2 ⊢ 𝑂 ∈ Constr
3		cos9thpiminply.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (𝑍 + (1 / 𝑍))
5	1, 3, 4	cos9thpinconstrlem2 34048	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ∈ Constr)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3)))
8		ax-icn 11129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → i ∈ ℂ)
10		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → π ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (2 · π) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		3cn 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ∈ ℂ)
17		3ne0 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcld 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ)
20	19	efcld 16096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
21	1, 20	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ∈ ℂ)
22	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
23	19	efne0d 16110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
24	22, 23	eqnetrd 3023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ≠ 0)
25	16, 18	reccld 11957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 3) ∈ ℂ)
26	21, 24, 25	cxpne0d 26755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
27	7, 26	eqnetrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ≠ 0)
28	6, 27	constrinvcl 34031	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 𝑍) ∈ Constr)
29	6, 28	constraddcl 34020	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr)
30	5, 29	mto 199	. . 3 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ Constr
31	30	nelir 3063	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ Constr
32	2, 31	pm3.2i 474	1 ⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3060  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071  ici 11072   + caddc 11073   · cmul 11075   / cdiv 11841  2c2 12269  3c3 12270  expce 16074  πcpi 16079  ↑_𝑐ccxp 26597  Constrcconstr 33987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-reg 9537  ax-inf2 9593  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-rpss 7702  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-r1 9719  df-rank 9720  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-shft 15077  df-sgn 15097  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-pc 16856  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ocomp 17290  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-pws 17461  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-qus 17522  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-mri 17599  df-acs 17600  df-proset 18309  df-drs 18310  df-poset 18328  df-ipo 18543  df-chn 18621  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-nsg 19149  df-eqg 19150  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-irred 20387  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-nzr 20542  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-rlreg 20723  df-domn 20724  df-idom 20725  df-drng 20760  df-field 20761  df-sdrg 20816  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lmhm 21069  df-lmim 21070  df-lmic 21071  df-lbs 21122  df-lvec 21150  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-2idl 21300  df-lpidl 21372  df-lpir 21373  df-pid 21387  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-uvc 21815  df-lindf 21838  df-linds 21839  df-assa 21885  df-asp 21886  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-evls 22107  df-evl 22108  df-psr1 22222  df-vr1 22223  df-ply1 22224  df-coe1 22225  df-evls1 22358  df-evl1 22359  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174  df-ig1p 26175  df-log 26598  df-cxp 26599  df-fldgen 33459  df-mxidl 33609  df-dim 33858  df-fldext 33899  df-extdg 33900  df-irng 33942  df-minply 33958  df-constr 33988

This theorem is referenced by:  trisecnconstr  34050