Theorem cos9thpinconstr 33799

Description: Trisecting an angle is an impossible construction. Given for example 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)), which represents an angle of ((2 · π) / 3), the cube root of 𝑂 is not constructible with straightedge and compass, while 𝑂 itself is constructible. This is the second part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.14 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpinconstr.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminply.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpinconstr	⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Proof of Theorem cos9thpinconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpinconstr.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2	1	cos9thpinconstrlem1 33797	. 2 ⊢ 𝑂 ∈ Constr
3		cos9thpiminply.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (𝑍 + (1 / 𝑍))
5	1, 3, 4	cos9thpinconstrlem2 33798	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ∈ Constr)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3)))
8		ax-icn 11062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → i ∈ ℂ)
10		2cnd 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → π ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (2 · π) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		3cn 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ∈ ℂ)
17		3ne0 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcld 11894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ)
20	19	efcld 15987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
21	1, 20	eqeltrid 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ∈ ℂ)
22	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
23	19	efne0d 16001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
24	22, 23	eqnetrd 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ≠ 0)
25	16, 18	reccld 11887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 3) ∈ ℂ)
26	21, 24, 25	cxpne0d 26647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
27	7, 26	eqnetrd 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ≠ 0)
28	6, 27	constrinvcl 33781	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 𝑍) ∈ Constr)
29	6, 28	constraddcl 33770	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr)
30	5, 29	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ Constr
31	30	nelir 3035	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ Constr
32	2, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∉ wnel 3032  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004  ici 11005   + caddc 11006   · cmul 11008   / cdiv 11771  2c2 12177  3c3 12178  expce 15965  πcpi 15970  ↑_𝑐ccxp 26489  Constrcconstr 33737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-ac2 10351  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-r1 9654  df-rank 9655  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-ac 10004  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-word 14418  df-lsw 14467  df-concat 14475  df-s1 14501  df-substr 14546  df-pfx 14576  df-shft 14971  df-sgn 14991  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-pi 15976  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-prm 16580  df-pc 16746  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ocomp 17179  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-pws 17350  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-qus 17410  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-mri 17487  df-acs 17488  df-proset 18197  df-drs 18198  df-poset 18216  df-ipo 18431  df-chn 18509  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-nsg 19034  df-eqg 19035  df-ghm 19123  df-gim 19169  df-cntz 19227  df-oppg 19256  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-irred 20275  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-nzr 20426  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-rlreg 20607  df-domn 20608  df-idom 20609  df-drng 20644  df-field 20645  df-sdrg 20700  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lmhm 20954  df-lmim 20955  df-lmic 20956  df-lbs 21007  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-lidl 21143  df-rsp 21144  df-2idl 21185  df-lpidl 21257  df-lpir 21258  df-pid 21272  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-uvc 21718  df-lindf 21741  df-linds 21742  df-assa 21788  df-asp 21789  df-ascl 21790  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-evls 22007  df-evl 22008  df-psr1 22090  df-vr1 22091  df-ply1 22092  df-coe1 22093  df-evls1 22228  df-evl1 22229  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-mdeg 25985  df-deg1 25986  df-mon1 26061  df-uc1p 26062  df-q1p 26063  df-r1p 26064  df-ig1p 26065  df-log 26490  df-cxp 26491  df-fldgen 33272  df-mxidl 33420  df-dim 33607  df-fldext 33649  df-extdg 33650  df-irng 33692  df-minply 33708  df-constr 33738

This theorem is referenced by:  trisecnconstr  33800