Theorem cos9thpinconstr 34159

Description: Trisecting an angle is an impossible construction. Given for example 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)), which represents an angle of ((2 · π) / 3), the cube root of 𝑂 is not constructible with straightedge and compass, while 𝑂 itself is constructible. This is the second part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.14 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpinconstr.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminply.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpinconstr	⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Proof of Theorem cos9thpinconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpinconstr.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2	1	cos9thpinconstrlem1 34157	. 2 ⊢ 𝑂 ∈ Constr
3		cos9thpiminply.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (𝑍 + (1 / 𝑍))
5	1, 3, 4	cos9thpinconstrlem2 34158	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ∈ Constr)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3)))
8		ax-icn 11160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → i ∈ ℂ)
10		2cnd 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → π ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (2 · π) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		3cn 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ∈ ℂ)
17		3ne0 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcld 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ)
20	19	efcld 16138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
21	1, 20	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ∈ ℂ)
22	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
23	19	efne0d 16152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
24	22, 23	eqnetrd 3025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ≠ 0)
25	16, 18	reccld 11985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 3) ∈ ℂ)
26	21, 24, 25	cxpne0d 26856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
27	7, 26	eqnetrd 3025	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ≠ 0)
28	6, 27	constrinvcl 34141	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 𝑍) ∈ Constr)
29	6, 28	constraddcl 34130	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr)
30	5, 29	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ Constr
31	30	nelir 3067	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ Constr
32	2, 31	pm3.2i 475	1 ⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∉ wnel 3064  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102  ici 11103   + caddc 11104   · cmul 11106   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  expce 16116  πcpi 16121  ↑_𝑐ccxp 26698  Constrcconstr 34097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-reg 9555  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-rpss 7722  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-r1 9737  df-rank 9738  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-shft 15106  df-sgn 15126  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731  df-pc 16898  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-pws 17503  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-qus 17564  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-mri 17641  df-acs 17642  df-proset 18351  df-drs 18352  df-poset 18370  df-ipo 18585  df-chn 18663  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-nsg 19191  df-eqg 19192  df-ghm 19285  df-gim 19330  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-irred 20442  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-rhm 20555  df-nzr 20597  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-idom 20782  df-drng 20816  df-field 20817  df-sdrg 20871  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lmhm 21124  df-lmim 21125  df-lmic 21126  df-lbs 21177  df-lvec 21205  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-rsp 21314  df-2idl 21370  df-lpidl 21471  df-lpir 21472  df-pid 21486  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-uvc 21914  df-lindf 21937  df-linds 21938  df-assa 21984  df-asp 21985  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-evls 22206  df-evl 22207  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-evls1 22456  df-evl1 22457  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-mdeg 26193  df-deg1 26194  df-mon1 26269  df-uc1p 26270  df-q1p 26271  df-r1p 26272  df-ig1p 26273  df-log 26699  df-cxp 26700  df-fldgen 33610  df-mxidl 33721  df-dim 33968  df-fldext 34009  df-extdg 34010  df-irng 34052  df-minply 34068  df-constr 34098

This theorem is referenced by:  trisecnconstr  34160