Theorem cos9thpinconstr 33757

Description: Trisecting an angle is an impossible construction. Given for example 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)), which represents an angle of ((2 · π) / 3), the cube root of 𝑂 is not constructible with straightedge and compass, while 𝑂 itself is constructible. This is the second part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.14 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpinconstr.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminply.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpinconstr	⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Proof of Theorem cos9thpinconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpinconstr.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
2	1	cos9thpinconstrlem1 33755	. 2 ⊢ 𝑂 ∈ Constr
3		cos9thpiminply.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (𝑍 + (1 / 𝑍))
5	1, 3, 4	cos9thpinconstrlem2 33756	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ∈ Constr)
7	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3)))
8		ax-icn 11087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → i ∈ ℂ)
10		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 2 ∈ ℂ)
11		picn 26383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → π ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (2 · π) ∈ ℂ)
14	9, 13	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
15		3cn 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ∈ ℂ)
17		3ne0 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 3 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcld 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ)
20	19	efcld 16008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
21	1, 20	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ∈ ℂ)
22	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
23	19	efne0d 16022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
24	22, 23	eqnetrd 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑂 ≠ 0)
25	16, 18	reccld 11911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 3) ∈ ℂ)
26	21, 24, 25	cxpne0d 26638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
27	7, 26	eqnetrd 2992	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → 𝑍 ≠ 0)
28	6, 27	constrinvcl 33739	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (1 / 𝑍) ∈ Constr)
29	6, 28	constraddcl 33728	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Constr → (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ Constr)
30	5, 29	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ Constr
31	30	nelir 3032	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ Constr
32	2, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝑂 ∈ Constr ∧ 𝑍 ∉ Constr)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   / cdiv 11795  2c2 12201  3c3 12202  expce 15986  πcpi 15991  ↑_𝑐ccxp 26480  Constrcconstr 33695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-rpss 7663  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-shft 14992  df-sgn 15012  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-pws 17371  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-qus 17431  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-mri 17508  df-acs 17509  df-proset 18218  df-drs 18219  df-poset 18237  df-ipo 18452  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-eqg 19022  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-lsm 19533  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-irred 20262  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-nzr 20416  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-rlreg 20597  df-domn 20598  df-idom 20599  df-drng 20634  df-field 20635  df-sdrg 20690  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lmhm 20944  df-lmim 20945  df-lmic 20946  df-lbs 20997  df-lvec 21025  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-2idl 21175  df-lpidl 21247  df-lpir 21248  df-pid 21262  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-uvc 21708  df-lindf 21731  df-linds 21732  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-evls 21997  df-evl 21998  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-coe1 22083  df-evls1 22218  df-evl1 22219  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-mdeg 25976  df-deg1 25977  df-mon1 26052  df-uc1p 26053  df-q1p 26054  df-r1p 26055  df-ig1p 26056  df-log 26481  df-cxp 26482  df-chn 32960  df-fldgen 33260  df-mxidl 33407  df-dim 33571  df-fldext 33613  df-extdg 33614  df-irng 33655  df-minply 33666  df-constr 33696

This theorem is referenced by:  trisecnconstr  33758