Theorem constrsdrg 34518

Description: Constructible numbers form a subfield of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
constrsdrg	⊢ Constr ∈ (SubDRing‘ℂfld)

Proof of Theorem constrsdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldfld 34007	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Field
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Field)
3	2	flddrngd 21045	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
4	3	drngringd 21039	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
5	3	drnggrpd 21040	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Grp)
6		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → 𝑥 ∈ Constr)
7	6	constrcn 34503	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ Constr → 𝑥 ∈ ℂ))
9	8	ssrdv 3919	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Constr ⊆ ℂ)
10		1zzd 12767	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
11	10	zconstr 34507	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ Constr)
12	11	ne0d 4291	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Constr ≠ ∅)
13		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) ∧ 𝑦 ∈ Constr) → 𝑥 ∈ Constr)
14		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) ∧ 𝑦 ∈ Constr) → 𝑦 ∈ Constr)
15	13, 14	constraddcl 34505	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) ∧ 𝑦 ∈ Constr) → (𝑥 + 𝑦) ∈ Constr)
16	15	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → ∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 + 𝑦) ∈ Constr)
17		cnfldneg 21756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
18	7, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
19	6	constrnegcl 34506	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → -𝑥 ∈ Constr)
20	18, 19	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr)
21	16, 20	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) → (∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 + 𝑦) ∈ Constr ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr))
22	21	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ Constr (∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 + 𝑦) ∈ Constr ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr))
23		cnfldbas 21733	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
24		cnfldadd 21735	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
26	23, 24, 25	issubg2 19402	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (Constr ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (Constr ⊆ ℂ ∧ Constr ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ Constr (∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 + 𝑦) ∈ Constr ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr))))
27	26	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ (Constr ⊆ ℂ ∧ Constr ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ Constr (∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 + 𝑦) ∈ Constr ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr))) → Constr ∈ (SubGrp‘ℂfld))
28	5, 9, 12, 22, 27	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ (⊤ → Constr ∈ (SubGrp‘ℂfld))
29	13, 14	constrmulcl 34514	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Constr) ∧ 𝑦 ∈ Constr) → (𝑥 · 𝑦) ∈ Constr)
30	29	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Constr ∧ 𝑦 ∈ Constr)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ Constr)
31	30	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ Constr ∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 · 𝑦) ∈ Constr)
32		cnfld1 21755	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
33		cnfldmul 21737	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
34	23, 32, 33	issubrg2 20895	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (Constr ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (Constr ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ Constr ∧ ∀𝑥 ∈ Constr ∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 · 𝑦) ∈ Constr)))
35	34	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (Constr ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ Constr ∧ ∀𝑥 ∈ Constr ∀𝑦 ∈ Constr (𝑥 · 𝑦) ∈ Constr)) → Constr ∈ (SubRing‘ℂfld))
36	4, 28, 11, 31, 35	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (⊤ → Constr ∈ (SubRing‘ℂfld))
37		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0}))
38	37	eldifad 4054	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → 𝑥 ∈ Constr)
39	38	constrcn 34503	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
40		eldifsni 4755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Constr ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
41	40	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
42		cnfldinv 21761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
43	39, 41, 42	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
44	38, 41	constrinvcl 34516	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → (1 / 𝑥) ∈ Constr)
45	43, 44	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr)
46	45	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr)
47		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
48		cnfld0 21754	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
49	47, 48	issdrg2 21103	. . 3 ⊢ (Constr ∈ (SubDRing‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ DivRing ∧ Constr ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ∀𝑥 ∈ (Constr ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ Constr))
50	3, 36, 46, 49	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (⊤ → Constr ∈ (SubDRing‘ℂfld))
51	50	mptru 1577	1 ⊢ Constr ∈ (SubDRing‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   -cneg 11581   / cdiv 12013  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195  SubGrpcsubg 19380  Ringcrg 20510  inv_rcinvr 20668  SubRingcsubrg 20872  DivRingcdr 21031  Fieldcfield 21032  SubDRingcsdrg 21094  ℂ_fldccnfld 21729  Constrcconstr 34472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-field 21034  df-sdrg 21095  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-constr 34473

This theorem is used by:  constrfld  34519