Theorem constrmulcl 34161

Description: Constructible numbers are closed under complex multiplication. Item (3) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrmulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrmulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrmulcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	constrcn 34150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	replimd 15244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
4		constrmulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
5	4	constrcn 34150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	replimd 15244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌))))
7	3, 6	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))))
8	2	recld 15241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11154	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
12	2	imcld 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	5	recld 15241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℂ)
17	5	imcld 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 11224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
20	9, 14, 16, 19	muladdd 11667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) = ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))))
21	1	constrrecl 34159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
22	4	constrrecl 34159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ Constr)
23	21, 22, 8, 15	constrremulcl 34157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) ∈ Constr)
24	11, 18, 11, 13	mul4d 11417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
25		ixi 11838	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
26	25	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
27	24, 26	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
28		1zzd 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29	28	zconstr 34154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
30	29	constrnegcl 34153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ Constr)
31	4	constrimcl 34160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ Constr)
32	1	constrimcl 34160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)
33	31, 32, 17, 12	constrremulcl 34157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
34		1red 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11636	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
36	17, 12	remulcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
37	30, 33, 35, 36	constrremulcl 34157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
38	27, 37	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
39	23, 38	constraddcl 34152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
40	9, 11, 18	mul12d 11414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
41		0zd 12598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
42	41	zconstr 34154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
43		iconstr 34156	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ Constr
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
45	21, 31, 8, 17	constrremulcl 34157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ Constr)
46	8, 17	remulcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℝ)
47	9, 18	mulcld 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
48	11, 47	mulcld 11224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
49		0cnd 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
50	11, 49	subcld 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
51	47, 50	mulcld 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)))
53	11	subid1d 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
54	53	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i))
55	47, 11	mulcomd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
56	52, 54, 55	3eqtrrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) = (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))))
57	11, 47	absmuld 15504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
58		absi 15333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘i) = 1
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
60	59	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
61	47	abscld 15486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
65	48	subid1d 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
66	65	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
67	47	subid1d 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0) = ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))
68	67	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
69	64, 66, 68	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)))
70	42, 44, 42, 45, 42, 46, 48, 56, 69	constrlccl 34147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
71	40, 70	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
72	16, 11, 13	mul12d 11414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
73	22, 32, 15, 12	constrremulcl 34157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
74	15, 12	remulcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
75	16, 13	mulcld 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
76	11, 75	mulcld 11224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
77	75, 50	mulcld 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
78	77	addlidd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)))
79	53	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i))
80	75, 11	mulcomd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
81	78, 79, 80	3eqtrrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))))
82	11, 75	absmuld 15504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
83	59	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
84	75	abscld 15486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
87	82, 83, 86	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
88	76	subid1d 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
89	88	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
90	75	subid1d 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0) = ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
91	90	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
92	87, 89, 91	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
93	42, 44, 42, 73, 42, 74, 76, 81, 92	constrlccl 34147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
94	72, 93	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
95	71, 94	constraddcl 34152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
96	39, 95	constraddcl 34152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))) ∈ Constr)
97	20, 96	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) ∈ Constr)
98	7, 97	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437  ℜcre 15144  ℑcim 15145  abscabs 15281  Constrcconstr 34119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-constr 34120

This theorem is referenced by:  constrreinvcl  34162  constrinvcl  34163  constrsdrg  34165  constrresqrtcl  34167  constrsqrtcl  34169