Theorem constrmulcl 33767

Description: Constructible numbers are closed under complex multiplication. Item (3) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrmulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrmulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrmulcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	constrcn 33756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	replimd 15169	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
4		constrmulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
5	4	constrcn 33756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	replimd 15169	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌))))
7	3, 6	oveq12d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))))
8	2	recld 15166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11133	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
12	2	imcld 15167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	5	recld 15166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℂ)
17	5	imcld 15167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 11200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
20	9, 14, 16, 19	muladdd 11642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) = ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))))
21	1	constrrecl 33765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
22	4	constrrecl 33765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ Constr)
23	21, 22, 8, 15	constrremulcl 33763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) ∈ Constr)
24	11, 18, 11, 13	mul4d 11392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
25		ixi 11813	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
26	25	oveq1i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
27	24, 26	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
28		1zzd 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29	28	zconstr 33760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
30	29	constrnegcl 33759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ Constr)
31	4	constrimcl 33766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ Constr)
32	1	constrimcl 33766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)
33	31, 32, 17, 12	constrremulcl 33763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
34		1red 11181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
36	17, 12	remulcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
37	30, 33, 35, 36	constrremulcl 33763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
38	27, 37	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
39	23, 38	constraddcl 33758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
40	9, 11, 18	mul12d 11389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
41		0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
42	41	zconstr 33760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
43		iconstr 33762	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ Constr
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
45	21, 31, 8, 17	constrremulcl 33763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ Constr)
46	8, 17	remulcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℝ)
47	9, 18	mulcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
48	11, 47	mulcld 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
49		0cnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
50	11, 49	subcld 11539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
51	47, 50	mulcld 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)))
53	11	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
54	53	oveq2d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i))
55	47, 11	mulcomd 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
56	52, 54, 55	3eqtrrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) = (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))))
57	11, 47	absmuld 15429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
58		absi 15258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘i) = 1
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
60	59	oveq1d 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
61	47	abscld 15411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
65	48	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
66	65	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
67	47	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0) = ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))
68	67	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
69	64, 66, 68	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)))
70	42, 44, 42, 45, 42, 46, 48, 56, 69	constrlccl 33753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
71	40, 70	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
72	16, 11, 13	mul12d 11389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
73	22, 32, 15, 12	constrremulcl 33763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
74	15, 12	remulcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
75	16, 13	mulcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
76	11, 75	mulcld 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
77	75, 50	mulcld 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
78	77	addlidd 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)))
79	53	oveq2d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i))
80	75, 11	mulcomd 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
81	78, 79, 80	3eqtrrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))))
82	11, 75	absmuld 15429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
83	59	oveq1d 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
84	75	abscld 15411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
87	82, 83, 86	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
88	76	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
89	88	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
90	75	subid1d 11528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0) = ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
91	90	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
92	87, 89, 91	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
93	42, 44, 42, 73, 42, 74, 76, 81, 92	constrlccl 33753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
94	72, 93	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
95	71, 94	constraddcl 33758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
96	39, 95	constraddcl 33758	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))) ∈ Constr)
97	20, 96	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) ∈ Constr)
98	7, 97	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074  1c1 11075  ici 11076   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11411  -cneg 11412  ℜcre 15069  ℑcim 15070  abscabs 15206  Constrcconstr 33725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-constr 33726

This theorem is referenced by:  constrreinvcl  33768  constrinvcl  33769  constrsdrg  33771  constrresqrtcl  33773  constrsqrtcl  33775