Theorem constrmulcl 33949

Description: Constructible numbers are closed under complex multiplication. Item (3) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrmulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrmulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrmulcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	constrcn 33938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	replimd 15132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
4		constrmulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
5	4	constrcn 33938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	replimd 15132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌))))
7	3, 6	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))))
8	2	recld 15129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11097	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
12	2	imcld 15130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	5	recld 15129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℂ)
17	5	imcld 15130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
20	9, 14, 16, 19	muladdd 11607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) = ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))))
21	1	constrrecl 33947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
22	4	constrrecl 33947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ Constr)
23	21, 22, 8, 15	constrremulcl 33945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) ∈ Constr)
24	11, 18, 11, 13	mul4d 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
25		ixi 11778	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
26	25	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
27	24, 26	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
28		1zzd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29	28	zconstr 33942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
30	29	constrnegcl 33941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ Constr)
31	4	constrimcl 33948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ Constr)
32	1	constrimcl 33948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)
33	31, 32, 17, 12	constrremulcl 33945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
34		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
36	17, 12	remulcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
37	30, 33, 35, 36	constrremulcl 33945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
38	27, 37	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
39	23, 38	constraddcl 33940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
40	9, 11, 18	mul12d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
41		0zd 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
42	41	zconstr 33942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
43		iconstr 33944	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ Constr
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
45	21, 31, 8, 17	constrremulcl 33945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ Constr)
46	8, 17	remulcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℝ)
47	9, 18	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
48	11, 47	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
49		0cnd 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
50	11, 49	subcld 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
51	47, 50	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)))
53	11	subid1d 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
54	53	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i))
55	47, 11	mulcomd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
56	52, 54, 55	3eqtrrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) = (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))))
57	11, 47	absmuld 15392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
58		absi 15221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘i) = 1
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
60	59	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
61	47	abscld 15374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
65	48	subid1d 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
66	65	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
67	47	subid1d 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0) = ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))
68	67	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
69	64, 66, 68	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)))
70	42, 44, 42, 45, 42, 46, 48, 56, 69	constrlccl 33935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
71	40, 70	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
72	16, 11, 13	mul12d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
73	22, 32, 15, 12	constrremulcl 33945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
74	15, 12	remulcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
75	16, 13	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
76	11, 75	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
77	75, 50	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
78	77	addlidd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)))
79	53	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i))
80	75, 11	mulcomd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
81	78, 79, 80	3eqtrrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))))
82	11, 75	absmuld 15392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
83	59	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
84	75	abscld 15374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
87	82, 83, 86	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
88	76	subid1d 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
89	88	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
90	75	subid1d 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0) = ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
91	90	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
92	87, 89, 91	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
93	42, 44, 42, 73, 42, 74, 76, 81, 92	constrlccl 33935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
94	72, 93	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
95	71, 94	constraddcl 33940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
96	39, 95	constraddcl 33940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))) ∈ Constr)
97	20, 96	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) ∈ Constr)
98	7, 97	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377  ℜcre 15032  ℑcim 15033  abscabs 15169  Constrcconstr 33907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-constr 33908

This theorem is referenced by:  constrreinvcl  33950  constrinvcl  33951  constrsdrg  33953  constrresqrtcl  33955  constrsqrtcl  33957