Theorem constrmulcl 34225

Description: Constructible numbers are closed under complex multiplication. Item (3) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrmulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrmulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrmulcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	constrcn 34214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	replimd 15272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
4		constrmulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
5	4	constrcn 34214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	replimd 15272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌))))
7	3, 6	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))))
8	2	recld 15269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11174	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
12	2	imcld 15270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	5	recld 15269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℂ)
17	5	imcld 15270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
20	9, 14, 16, 19	muladdd 11687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) = ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))))
21	1	constrrecl 34223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
22	4	constrrecl 34223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ Constr)
23	21, 22, 8, 15	constrremulcl 34221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) ∈ Constr)
24	11, 18, 11, 13	mul4d 11437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
25		ixi 11858	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
26	25	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
27	24, 26	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
28		1zzd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29	28	zconstr 34218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
30	29	constrnegcl 34217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ Constr)
31	4	constrimcl 34224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ Constr)
32	1	constrimcl 34224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)
33	31, 32, 17, 12	constrremulcl 34221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
34		1red 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
36	17, 12	remulcld 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
37	30, 33, 35, 36	constrremulcl 34221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
38	27, 37	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
39	23, 38	constraddcl 34216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
40	9, 11, 18	mul12d 11434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
41		0zd 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
42	41	zconstr 34218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
43		iconstr 34220	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ Constr
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
45	21, 31, 8, 17	constrremulcl 34221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ Constr)
46	8, 17	remulcld 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℝ)
47	9, 18	mulcld 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
48	11, 47	mulcld 11244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
49		0cnd 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
50	11, 49	subcld 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
51	47, 50	mulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)))
53	11	subid1d 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
54	53	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i))
55	47, 11	mulcomd 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
56	52, 54, 55	3eqtrrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) = (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))))
57	11, 47	absmuld 15532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
58		absi 15361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘i) = 1
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
60	59	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
61	47	abscld 15514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
65	48	subid1d 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
66	65	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
67	47	subid1d 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0) = ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))
68	67	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
69	64, 66, 68	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)))
70	42, 44, 42, 45, 42, 46, 48, 56, 69	constrlccl 34211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
71	40, 70	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
72	16, 11, 13	mul12d 11434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
73	22, 32, 15, 12	constrremulcl 34221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
74	15, 12	remulcld 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
75	16, 13	mulcld 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
76	11, 75	mulcld 11244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
77	75, 50	mulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
78	77	addlidd 11426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)))
79	53	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i))
80	75, 11	mulcomd 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
81	78, 79, 80	3eqtrrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))))
82	11, 75	absmuld 15532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
83	59	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
84	75	abscld 15514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
87	82, 83, 86	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
88	76	subid1d 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
89	88	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
90	75	subid1d 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0) = ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
91	90	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
92	87, 89, 91	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
93	42, 44, 42, 73, 42, 74, 76, 81, 92	constrlccl 34211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
94	72, 93	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
95	71, 94	constraddcl 34216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
96	39, 95	constraddcl 34216	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))) ∈ Constr)
97	20, 96	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) ∈ Constr)
98	7, 97	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116  ici 11117   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  -cneg 11457  ℜcre 15172  ℑcim 15173  abscabs 15309  Constrcconstr 34183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-constr 34184

This theorem is used by:  constrreinvcl  34226  constrinvcl  34227  constrsdrg  34229  constrresqrtcl  34231  constrsqrtcl  34233