Theorem constrmulcl 34102

Description: Constructible numbers are closed under complex multiplication. Item (3) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrmulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrmulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrmulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrmulcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
2	1	constrcn 34091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	replimd 15244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))))
4		constrmulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
5	4	constrcn 34091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	replimd 15244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌))))
7	3, 6	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))))
8	2	recld 15241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11155	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
12	2	imcld 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
15	5	recld 15241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ ℂ)
17	5	imcld 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ ℂ)
19	11, 18	mulcld 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
20	9, 14, 16, 19	muladdd 11668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) = ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))))
21	1	constrrecl 34100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
22	4	constrrecl 34100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑌) ∈ Constr)
23	21, 22, 8, 15	constrremulcl 34098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) ∈ Constr)
24	11, 18, 11, 13	mul4d 11418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
25		ixi 11839	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
26	25	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
27	24, 26	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
28		1zzd 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29	28	zconstr 34095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
30	29	constrnegcl 34094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ Constr)
31	4	constrimcl 34101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑌) ∈ Constr)
32	1	constrimcl 34101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) ∈ Constr)
33	31, 32, 17, 12	constrremulcl 34098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
34		1red 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
36	17, 12	remulcld 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
37	30, 33, 35, 36	constrremulcl 34098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · ((ℑ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
38	27, 37	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
39	23, 38	constraddcl 34093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
40	9, 11, 18	mul12d 11415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
41		0zd 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
42	41	zconstr 34095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
43		iconstr 34097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ Constr
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
45	21, 31, 8, 17	constrremulcl 34098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ Constr)
46	8, 17	remulcld 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℝ)
47	9, 18	mulcld 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) ∈ ℂ)
48	11, 47	mulcld 11225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
49		0cnd 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
50	11, 49	subcld 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
51	47, 50	mulcld 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
52	51	addlidd 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)))
53	11	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
54	53	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i))
55	47, 11	mulcomd 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
56	52, 54, 55	3eqtrrd 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) = (0 + (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) · (i − 0))))
57	11, 47	absmuld 15504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
58		absi 15333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘i) = 1
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
60	59	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
61	47	abscld 15486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ ℂ)
63	62	mullidd 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
64	57, 60, 63	3eqtrd 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
65	48	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
66	65	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))))
67	47	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0) = ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)))
68	67	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))))
69	64, 66, 68	3eqtr4d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌)) − 0)))
70	42, 44, 42, 45, 42, 46, 48, 56, 69	constrlccl 34088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑋) · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
71	40, 70	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) ∈ Constr)
72	16, 11, 13	mul12d 11415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
73	22, 32, 15, 12	constrremulcl 34098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ Constr)
74	15, 12	remulcld 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℝ)
75	16, 13	mulcld 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) ∈ ℂ)
76	11, 75	mulcld 11225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
77	75, 50	mulcld 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) ∈ ℂ)
78	77	addlidd 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)))
79	53	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0)) = (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i))
80	75, 11	mulcomd 11226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · i) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
81	78, 79, 80	3eqtrrd 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) = (0 + (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) · (i − 0))))
82	11, 75	absmuld 15504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
83	59	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
84	75	abscld 15486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ ℂ)
86	85	mullidd 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
87	82, 83, 86	3eqtrd 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
88	76	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0) = (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
89	88	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))))
90	75	subid1d 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0) = ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)))
91	90	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)) = (abs‘((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))))
92	87, 89, 91	3eqtr4d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) − 0)) = (abs‘(((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋)) − 0)))
93	42, 44, 42, 73, 42, 74, 76, 81, 92	constrlccl 34088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · ((ℜ‘𝑌) · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
94	72, 93	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))) ∈ Constr)
95	71, 94	constraddcl 34093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋)))) ∈ Constr)
96	39, 95	constraddcl 34093	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℜ‘𝑋) · (ℜ‘𝑌)) + ((i · (ℑ‘𝑌)) · (i · (ℑ‘𝑋)))) + (((ℜ‘𝑋) · (i · (ℑ‘𝑌))) + ((ℜ‘𝑌) · (i · (ℑ‘𝑋))))) ∈ Constr)
97	20, 96	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ‘𝑋) + (i · (ℑ‘𝑋))) · ((ℜ‘𝑌) + (i · (ℑ‘𝑌)))) ∈ Constr)
98	7, 97	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  -cneg 11438  ℜcre 15144  ℑcim 15145  abscabs 15281  Constrcconstr 34060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-constr 34061

This theorem is referenced by:  constrreinvcl  34103  constrinvcl  34104  constrsdrg  34106  constrresqrtcl  34108  constrsqrtcl  34110