Theorem cyc2fvx 33091

Description: Function value of a 2-cycle outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fvx	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem cyc2fvx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14837	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 32866	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		cycpm3.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10		cycpm3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
11	10	necomd 2980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
12	9, 11	nelprd 4621	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝐼, 𝐽})
13	3, 4	s2rn 14929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
14	12, 13	neleqtrrd 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)
15	1, 2, 5, 7, 8, 14	cycpmfv3 33072	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {cpr 4591  ran crn 5639  ‘cfv 6511  ⟨“cs2 14807  SymGrpcsymg 19299  toCycctocyc 33063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-csh 14754  df-s2 14814  df-tocyc 33064

This theorem is referenced by:  cyc3co2  33097