Theorem cyc2fvx 32796

Description: Function value of a 2-cycle outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fvx	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem cyc2fvx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14825	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 32613	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		cycpm3.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10		cycpm3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
11	10	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐽)
12	9, 11	nelprd 4654	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝐼, 𝐽})
13	3, 4	s2rn 32612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
14	12, 13	neleqtrrd 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)
15	1, 2, 5, 7, 8, 14	cycpmfv3 32777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {cpr 4625  ran crn 5670  ‘cfv 6536  ⟨“cs2 14795  SymGrpcsymg 19283  toCycctocyc 32768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-csh 14742  df-s2 14802  df-tocyc 32769

This theorem is referenced by:  cyc3co2  32802