Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc2fvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc2fvx 31808
Description: Function value of a 2-cycle outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm3.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm3.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm3.k (𝜑𝐾𝐷)
cycpm3.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm3.2 (𝜑𝐽𝐾)
cycpm3.3 (𝜑𝐾𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc2fvx (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem cyc2fvx
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . 2 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm3.d . 2 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm3.i . . 3 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm3.j . . 3 (𝜑𝐽𝐷)
53, 4s2cld 14718 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 cycpm3.1 . . 3 (𝜑𝐼𝐽)
73, 4, 6s2f1 31626 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
8 cycpm3.k . 2 (𝜑𝐾𝐷)
9 cycpm3.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
10 cycpm3.2 . . . . 5 (𝜑𝐽𝐾)
1110necomd 2998 . . . 4 (𝜑𝐾𝐽)
129, 11nelprd 4616 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝐼, 𝐽})
133, 4s2rn 31625 . . 3 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
1412, 13neleqtrrd 2861 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)
151, 2, 5, 7, 8, 14cycpmfv3 31789 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  {cpr 4587  ran crn 5633  cfv 6494  ⟨“cs2 14688  SymGrpcsymg 19107  toCycctocyc 31780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-inf 9338  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-mod 13730  df-hash 14185  df-word 14357  df-concat 14413  df-s1 14438  df-substr 14487  df-pfx 14517  df-csh 14635  df-s2 14695  df-tocyc 31781
This theorem is referenced by:  cyc3co2  31814
  Copyright terms: Public domain W3C validator