Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc2fvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc2fvx 30796
Description: Function value of a 2-cycle outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm3.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm3.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm3.k (𝜑𝐾𝐷)
cycpm3.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm3.2 (𝜑𝐽𝐾)
cycpm3.3 (𝜑𝐾𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc2fvx (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem cyc2fvx
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . 2 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm3.d . 2 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm3.i . . 3 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm3.j . . 3 (𝜑𝐽𝐷)
53, 4s2cld 14224 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 cycpm3.1 . . 3 (𝜑𝐼𝐽)
73, 4, 6s2f1 30620 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
8 cycpm3.k . 2 (𝜑𝐾𝐷)
9 cycpm3.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
10 cycpm3.2 . . . . 5 (𝜑𝐽𝐾)
1110necomd 3068 . . . 4 (𝜑𝐾𝐽)
129, 11nelprd 4579 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝐼, 𝐽})
133, 4s2rn 30619 . . 3 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
1412, 13neleqtrrd 2938 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)
151, 2, 5, 7, 8, 14cycpmfv3 30777 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐾) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  {cpr 4550  ran crn 5539  cfv 6338  ⟨“cs2 14194  SymGrpcsymg 18486  toCycctocyc 30768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-s2 14201  df-tocyc 30769
This theorem is referenced by:  cyc3co2  30802
  Copyright terms: Public domain W3C validator