Theorem cycpm3cl 33196

Description: Closure of the 3-cycles in the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cycpm3cl	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpm3cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cycpm3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
6	3, 4, 5	s3cld 14834	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7		cycpm3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
8		cycpm3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9		cycpm3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	s3f1 33007	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
11		cycpm3.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12	1, 2, 6, 10, 11	cycpmcl 33177	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  ⟨“cs3 14804  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19344  toCycctocyc 33167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-csh 14751  df-s2 14810  df-s3 14811  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18837  df-symg 19345  df-tocyc 33168

This theorem is referenced by:  cyc3co2  33201  cyc3genpmlem  33212