Theorem sinhpcosh 51113

Description: Prove that (sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴) = (exp‘𝐴) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhpcosh	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem sinhpcosh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinhval-named 51109	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
2		sinhval 16351	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
3	1, 2	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
4		coshval-named 51110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
5		coshval 16352	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
6	4, 5	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
7	3, 6	oveq12d 7461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
8		2cn 12445	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12476	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
10		efcl 16277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
11		negcl 11584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		efcl 16277	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 11355	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
15	10, 13	subcld 11696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
16		divdir 12026	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
17	15, 16	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
18	14, 17	syl3an2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
19	18	3anidm12 1447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
20	8, 9, 19	mpanr12 718	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
21	10	2timesd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
22	10, 13, 10	nppcand 11721	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘ -𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
23	15, 10, 13	addassd 11358	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘ -𝐴)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))))
24	21, 22, 23	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) = (2 · (exp‘𝐴)))
25	24	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
26	7, 20, 25	3eqtr2d 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
27	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
28	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
29	10, 27, 28	divcan3d 12125	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘𝐴)) / 2) = (exp‘𝐴))
30	26, 29	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  ici 11229   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   -cneg 11569   / cdiv 12000  2c2 12424  expce 16256  sincsin 16258  cosccos 16259  sinhcsinh 51103  coshccosh 51104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-sinh 51106  df-cosh 51107

This theorem is used by: (None)