Theorem sinhpcosh 43283

Description: Prove that (sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴) = (exp‘𝐴) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhpcosh	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem sinhpcosh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinhval-named 43279	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
2		sinhval 15220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
3	1, 2	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4		coshval-named 43280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
5		coshval 15221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
6	4, 5	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
7	3, 6	oveq12d 6896	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
8		2cn 11388	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 11424	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
10		efcl 15149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
11		negcl 10572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		efcl 15149	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 10348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
15	10, 13	subcld 10684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
16		divdir 11002	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
17	15, 16	syl3an1 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
18	14, 17	syl3an2 1204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
19	18	3anidm12 1543	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
20	8, 9, 19	mpanr12 697	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
21	10	2timesd 11563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
22	10, 13, 10	nppcand 10709	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
23	15, 10, 13	addassd 10351	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
24	21, 22, 23	3eqtr2rd 2840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) = (2 · (exp‘𝐴)))
25	24	oveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
26	7, 20, 25	3eqtr2d 2839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
27	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
28	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
29	10, 27, 28	divcan3d 11098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘𝐴)) / 2) = (exp‘𝐴))
30	26, 29	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  0cc0 10224  ici 10226   + caddc 10227   · cmul 10229   − cmin 10556  -cneg 10557   / cdiv 10976  2c2 11368  expce 15128  sincsin 15130  cosccos 15131  sinhcsinh 43273  coshccosh 43274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-sinh 43276  df-cosh 43277

This theorem is referenced by: (None)