Theorem sinhpcosh 50875

Description: Prove that (sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴) = (exp‘𝐴) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhpcosh	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem sinhpcosh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinhval-named 50871	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
2		sinhval 16322	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
3	1, 2	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
4		coshval-named 50872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
5		coshval 16323	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
6	4, 5	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
7	3, 6	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
8		2cn 12418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12449	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
10		efcl 16248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
11		negcl 11557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		efcl 16248	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 11328	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
15	10, 13	subcld 11669	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
16		divdir 11999	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
17	15, 16	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
18	14, 17	syl3an2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
19	18	3anidm12 1446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
20	8, 9, 19	mpanr12 718	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
21	10	2timesd 12589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
22	10, 13, 10	nppcand 11694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘ -𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
23	15, 10, 13	addassd 11331	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘ -𝐴)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))))
24	21, 22, 23	3eqtr2rd 2802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) = (2 · (exp‘𝐴)))
25	24	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) / 2) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
26	7, 20, 25	3eqtr2d 2801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
27	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
28	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
29	10, 27, 28	divcan3d 12098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘𝐴)) / 2) = (exp‘𝐴))
30	26, 29	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  expce 16227  sincsin 16229  cosccos 16230  sinhcsinh 50865  coshccosh 50866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-sinh 50868  df-cosh 50869

This theorem is used by: (None)