Theorem sinhpcosh 47949

Description: Prove that (sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴) = (exp‘𝐴) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhpcosh	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem sinhpcosh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinhval-named 47945	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
2		sinhval 16104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
3	1, 2	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4		coshval-named 47946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
5		coshval 16105	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
6	4, 5	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
7	3, 6	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
8		2cn 12294	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		2ne0 12323	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
10		efcl 16033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
11		negcl 11467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		efcl 16033	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
15	10, 13	subcld 11578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
16		divdir 11904	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
17	15, 16	syl3an1 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
18	14, 17	syl3an2 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
19	18	3anidm12 1418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
20	8, 9, 19	mpanr12 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
21	10	2timesd 12462	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
22	10, 13, 10	nppcand 11603	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
23	15, 10, 13	addassd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
24	21, 22, 23	3eqtr2rd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) = (2 · (exp‘𝐴)))
25	24	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
26	7, 20, 25	3eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
27	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
28	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
29	10, 27, 28	divcan3d 12002	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘𝐴)) / 2) = (exp‘𝐴))
30	26, 29	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  ici 11118   + caddc 11119   · cmul 11121   − cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  expce 16012  sincsin 16014  cosccos 16015  sinhcsinh 47939  coshccosh 47940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-sinh 47942  df-cosh 47943

This theorem is referenced by: (None)