Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinhpcosh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhpcosh 48059
Description: Prove that (sinhβ€˜π΄) + (coshβ€˜π΄) = (expβ€˜π΄) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhpcosh (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinhβ€˜π΄) + (coshβ€˜π΄)) = (expβ€˜π΄))

Proof of Theorem sinhpcosh
StepHypRef Expression
1 sinhval-named 48055 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinhβ€˜π΄) = ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i))
2 sinhval 16104 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
31, 2eqtrd 2766 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinhβ€˜π΄) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
4 coshval-named 48056 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (coshβ€˜π΄) = (cosβ€˜(i Β· 𝐴)))
5 coshval 16105 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2))
64, 5eqtrd 2766 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (coshβ€˜π΄) = (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2))
73, 6oveq12d 7423 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinhβ€˜π΄) + (coshβ€˜π΄)) = ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) + (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
8 2cn 12291 . . . 4 2 ∈ β„‚
9 2ne0 12320 . . . 4 2 β‰  0
10 efcl 16032 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) ∈ β„‚)
11 negcl 11464 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
12 efcl 16032 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
1410, 13addcld 11237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
1510, 13subcld 11575 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
16 divdir 11901 . . . . . . 7 ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) / 2) = ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) + (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
1715, 16syl3an1 1160 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) / 2) = ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) + (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
1814, 17syl3an2 1161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) / 2) = ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) + (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
19183anidm12 1416 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) / 2) = ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) + (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
208, 9, 19mpanr12 702 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) / 2) = ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) + (((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
21102timesd 12459 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (expβ€˜π΄)) = ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜π΄)))
2210, 13, 10nppcand 11600 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + (expβ€˜π΄)) + (expβ€˜-𝐴)) = ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜π΄)))
2315, 10, 13addassd 11240 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + (expβ€˜π΄)) + (expβ€˜-𝐴)) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))))
2421, 22, 233eqtr2rd 2773 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) = (2 Β· (expβ€˜π΄)))
2524oveq1d 7420 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) + ((expβ€˜π΄) + (expβ€˜-𝐴))) / 2) = ((2 Β· (expβ€˜π΄)) / 2))
267, 20, 253eqtr2d 2772 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinhβ€˜π΄) + (coshβ€˜π΄)) = ((2 Β· (expβ€˜π΄)) / 2))
278a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
289a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 β‰  0)
2910, 27, 28divcan3d 11999 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· (expβ€˜π΄)) / 2) = (expβ€˜π΄))
3026, 29eqtrd 2766 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinhβ€˜π΄) + (coshβ€˜π΄)) = (expβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  expce 16011  sincsin 16013  cosccos 16014  sinhcsinh 48049  coshccosh 48050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-sinh 48052  df-cosh 48053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator