Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinhpcosh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhpcosh 45011
 Description: Prove that (sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴) = (exp‘𝐴) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhpcosh (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem sinhpcosh
StepHypRef Expression
1 sinhval-named 45007 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
2 sinhval 15485 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
31, 2eqtrd 2855 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4 coshval-named 45008 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
5 coshval 15486 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
64, 5eqtrd 2855 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
73, 6oveq12d 7149 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
8 2cn 11689 . . . 4 2 ∈ ℂ
9 2ne0 11718 . . . 4 2 ≠ 0
10 efcl 15414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
11 negcl 10862 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12 efcl 15414 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
1410, 13addcld 10636 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
1510, 13subcld 10973 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
16 divdir 11299 . . . . . . 7 ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
1715, 16syl3an1 1159 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
1814, 17syl3an2 1160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
19183anidm12 1415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
208, 9, 19mpanr12 703 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
21102timesd 11857 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
2210, 13, 10nppcand 10998 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
2315, 10, 13addassd 10639 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
2421, 22, 233eqtr2rd 2862 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) = (2 · (exp‘𝐴)))
2524oveq1d 7146 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
267, 20, 253eqtr2d 2861 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
278a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
289a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
2910, 27, 28divcan3d 11397 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘𝐴)) / 2) = (exp‘𝐴))
3026, 29eqtrd 2855 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  ℂcc 10511  0cc0 10513  ici 10515   + caddc 10516   · cmul 10518   − cmin 10846  -cneg 10847   / cdiv 11273  2c2 11669  expce 15393  sincsin 15395  cosccos 15396  sinhcsinh 45001  coshccosh 45002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592  ax-mulf 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-pm 8385  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-rp 12367  df-ico 12721  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-seq 13352  df-exp 13413  df-fac 13617  df-hash 13674  df-shft 14404  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-limsup 14806  df-clim 14823  df-rlim 14824  df-sum 15021  df-ef 15399  df-sin 15401  df-cos 15402  df-sinh 45004  df-cosh 45005 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator