Theorem divgcdodd 16717

Description: Either 𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd or 𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵) is odd. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divgcdodd	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divgcdodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n2dvds1 16374	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
2		2z 12589	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		nnz 12575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4		nnz 12575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
5		gcddvds 16509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2an 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7	6	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
8		gcdnncl 16513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
10	8	nnne0d 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
11	3	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		dvdsval2 16261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
14	7, 13	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
15	6	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
16	4	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17		dvdsval2 16261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
18	9, 10, 16, 17	syl3anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
19	15, 18	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
20		dvdsgcdb 16551	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ 2 ∥ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
21	2, 14, 19, 20	mp3an2i 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ 2 ∥ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
22		gcddiv 16557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
23	11, 16, 8, 6, 22	syl31anc 1384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
24	8	nncnd 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
25	24, 10	dividd 11951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
26	23, 25	eqtr3d 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
27	26	breq2d 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (2 ∥ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ 2 ∥ 1))
28	27	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (2 ∥ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → 2 ∥ 1))
29	21, 28	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) → 2 ∥ 1))
30	29	expdimp 455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) → (2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) → 2 ∥ 1))
31	1, 30	mtoi 201	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))) → ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
32	31	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
33		imor 862	. 2 ⊢ ((2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) ↔ (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
34	32, 33	sylib 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∨ ¬ 2 ∥ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060   / cdiv 11830  ℕcn 12196  2c2 12258  ℤcz 12554   ∥ cdvds 16258   gcd cgcd 16500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-gcd 16501

This theorem is referenced by:  pythagtrip  16842  divgcdoddALTV  48242