Theorem dvdsprmpweq 16931

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	pccld 16897	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6	5	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
8		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑁))
10	9	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)))
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁))
13	8, 11, 12	rspcedvd 3637	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))
14		pcprmpw2 16929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
15	14	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
17	13, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
18	4, 7, 17	rspcedvd 3637	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
19	18	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718   pCnt cpc 16883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884

This theorem is referenced by:  dvdsprmpweqnn  16932  dvdsprmpweqle  16933