Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsprmpweq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsprmpweq 16221
 Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprmpweq ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweq
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
31, 2pccld 16188 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
43adantr 484 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5 oveq2 7158 . . . . 5 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
65eqeq2d 2835 . . . 4 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
76adantl 485 . . 3 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
8 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑁))
109breq2d 5065 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)))
1110adantl 485 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)))
12 simpr 488 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑃𝑁))
138, 11, 12rspcedvd 3613 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛))
14 pcprmpw2 16219 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
15143adant3 1129 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1615adantr 484 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1713, 16mpbid 235 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
184, 7, 17rspcedvd 3613 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛))
1918ex 416 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134   class class class wbr 5053  (class class class)co 7150  ℕcn 11637  ℕ0cn0 11897  ↑cexp 13437   ∥ cdvds 15610  ℙcprime 16016   pCnt cpc 16174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15845  df-prm 16017  df-pc 16175 This theorem is referenced by:  dvdsprmpweqnn  16222  dvdsprmpweqle  16223
 Copyright terms: Public domain W3C validator