Theorem pcprmpw2 16920

Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcprmpw2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem pcprmpw2

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12587	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3		prmnn 16711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		pccl 16887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14284	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12587	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
9	6	nn0red 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	leidd 11829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
11		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝑃 ∈ ℙ)
12	6	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
13		pcid 16911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
15	10, 14	breqtrrd 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
18	17	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))
19	17	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
20	16, 18, 19	3brtr4d 5175	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
21		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))
22		prmz 16712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
24	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
26		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
27	4, 26	nnexpcld 14284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
30		dvdstr 16331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛)))
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛)))
32	21, 31	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛)))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
34	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
35		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36		prmdvdsexpr 16754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
38	32, 37	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 = 𝑃))
39	38	necon3ad 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ 𝐴))
40	39	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ 𝐴)
41		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
42	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℕ)
43		pceq0 16909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝐴))
44	41, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝐴))
45	40, 44	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0)
46	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
47	41, 46	pccld 16888	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
49	45, 48	eqbrtrd 5165	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
50	20, 49	pm2.61dane 3029	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
51	50	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
52	1	nnzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∈ ℤ)
53	7	nnzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
54		pc2dvds 16917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
55	52, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
56	51, 55	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
57		pcdvds 16902	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
59		dvdseq 16351	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
60	2, 8, 56, 58, 59	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
61	60	rexlimdvaa 3156	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
62	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62, 5	nnexpcld 14284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12640	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
65		iddvds 16307	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
67		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
68	67	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
69	68	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛))
70	5, 66, 69	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛))
71		breq1 5146	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛)))
72	71	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛)))
73	70, 72	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)))
74	61, 73	impbid 212	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708   pCnt cpc 16874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875

This theorem is referenced by:  pcprmpw  16921  dvdsprmpweq  16922  pgpfi1  19613  pgpfi  19623  sylow2alem2  19636  lt6abl  19913  pgpfac1lem3a  20096  dvdsppwf1o  27229