MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprmpw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprmpw2 16824
Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcprmpw2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem pcprmpw2
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12536 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3 prmnn 16618 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 pccl 16791 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
65adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
74, 6nnexpcld 14213 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
87nnnn0d 12536 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
96nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
109leidd 11784 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
11 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝑃 ∈ ℙ)
126nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
13 pcid 16815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1510, 14breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1615ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
1817oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1917oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
2016, 18, 193brtr4d 5173 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
21 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝑃𝑛))
22 prmz 16619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2524nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
26 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
274, 26nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ)
2928nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
30 dvdstr 16244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑝𝐴𝐴 ∥ (𝑃𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃𝑛)))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴𝐴 ∥ (𝑃𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃𝑛)))
3221, 31mpan2d 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐴𝑝 ∥ (𝑃𝑛)))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
3411adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
35 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36 prmdvdsexpr 16661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
3832, 37syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐴𝑝 = 𝑃))
3938necon3ad 2947 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → ¬ 𝑝𝐴))
4039imp 406 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ 𝑝𝐴)
41 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
421ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℕ)
43 pceq0 16813 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝐴))
4441, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝐴))
4540, 44mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0)
467ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
4741, 46pccld 16792 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
4945, 48eqbrtrd 5163 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5020, 49pm2.61dane 3023 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5150ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
521nnzd 12589 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∈ ℤ)
537nnzd 12589 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
54 pc2dvds 16821 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
5552, 53, 54syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
5651, 55mpbird 257 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
57 pcdvds 16806 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
5857adantr 480 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
59 dvdseq 16264 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
602, 8, 56, 58, 59syl22anc 836 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6160rexlimdvaa 3150 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
623adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
6362, 5nnexpcld 14213 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
6463nnzd 12589 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
65 iddvds 16220 . . . . 5 ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6664, 65syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
67 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6867breq2d 5153 . . . . 5 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
6968rspcev 3606 . . . 4 (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛))
705, 66, 69syl2anc 583 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛))
71 breq1 5144 . . . 4 (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛)))
7271rexbidv 3172 . . 3 (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛)))
7370, 72syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛)))
7461, 73impbid 211 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  cle 11253  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  cexp 14032  cdvds 16204  cprime 16615   pCnt cpc 16778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779
This theorem is referenced by:  pcprmpw  16825  dvdsprmpweq  16826  pgpfi1  19515  pgpfi  19525  sylow2alem2  19538  lt6abl  19815  pgpfac1lem3a  19998  dvdsppwf1o  27073
  Copyright terms: Public domain W3C validator