MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprmpw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprmpw2 16850
Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcprmpw2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem pcprmpw2
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12562 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3 prmnn 16644 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 pccl 16817 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
65adantr 479 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
74, 6nnexpcld 14239 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
87nnnn0d 12562 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
96nn0red 12563 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
109leidd 11810 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
11 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝑃 ∈ ℙ)
126nn0zd 12614 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
13 pcid 16841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1411, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1510, 14breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
17 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
1817oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))
1917oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
2016, 18, 193brtr4d 5175 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
21 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝑃𝑛))
22 prmz 16645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
241adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2524nnzd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
274, 26nnexpcld 14239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ)
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ)
2928nnzd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
30 dvdstr 16270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑝𝐴𝐴 ∥ (𝑃𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃𝑛)))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴𝐴 ∥ (𝑃𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃𝑛)))
3221, 31mpan2d 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐴𝑝 ∥ (𝑃𝑛)))
33 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
3411adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
35 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36 prmdvdsexpr 16687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
3832, 37syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐴𝑝 = 𝑃))
3938necon3ad 2943 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → ¬ 𝑝𝐴))
4039imp 405 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ¬ 𝑝𝐴)
41 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
421ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℕ)
43 pceq0 16839 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝐴))
4441, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝐴))
4540, 44mpbird 256 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0)
467ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
4741, 46pccld 16818 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 12565 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
4945, 48eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5020, 49pm2.61dane 3019 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5150ralrimiva 3136 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
521nnzd 12615 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∈ ℤ)
537nnzd 12615 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
54 pc2dvds 16847 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
5552, 53, 54syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
5651, 55mpbird 256 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
57 pcdvds 16832 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
5857adantr 479 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
59 dvdseq 16290 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
602, 8, 56, 58, 59syl22anc 837 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝐴 ∥ (𝑃𝑛))) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6160rexlimdvaa 3146 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
623adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
6362, 5nnexpcld 14239 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
6463nnzd 12615 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
65 iddvds 16246 . . . . 5 ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6664, 65syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
67 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
6867breq2d 5155 . . . . 5 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
6968rspcev 3601 . . . 4 (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛))
705, 66, 69syl2anc 582 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛))
71 breq1 5146 . . . 4 (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛)))
7271rexbidv 3169 . . 3 (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃𝑛)))
7370, 72syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛)))
7461, 73impbid 211 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  wrex 3060   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  0cc0 11138  cle 11279  cn 12242  0cn0 12502  cz 12588  cexp 14058  cdvds 16230  cprime 16641   pCnt cpc 16804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805
This theorem is referenced by:  pcprmpw  16851  dvdsprmpweq  16852  pgpfi1  19554  pgpfi  19564  sylow2alem2  19577  lt6abl  19854  pgpfac1lem3a  20037  dvdsppwf1o  27136
  Copyright terms: Public domain W3C validator