Theorem pcprmpw 16943

Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcprmpw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem pcprmpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		zexpcl 14112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
5		iddvds 16327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ → (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑛))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑛))
7		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑛)))
8	6, 7	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)))
9	8	reximdva 3184	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)))
10		pcprmpw2 16942	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
11	9, 10	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
12		pccl 16909	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
13		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
14	13	rspceeqv 3611	. . . 4 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
15	14	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
16	12, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
17	11, 16	impbid 215	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ↑cexp 14097   ∥ cdvds 16310  ℙcprime 16729   pCnt cpc 16896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-pc 16897

This theorem is referenced by:  pgpfi1  19665  pgpfi  19675  pgpfi2  19676  fislw  19695  aks5lem8  42893