Theorem pccld 16883

Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pccld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
pccld	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem pccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		pccl 16882	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℙcprime 16704   pCnt cpc 16869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870

This theorem is referenced by:  pcqmul  16886  pcidlem  16905  pcgcd1  16910  pc2dvds  16912  pcz  16914  pcprmpw2  16915  dvdsprmpweq  16917  pcadd  16922  pcmpt  16925  pcfac  16932  oddprmdvds  16936  pockthg  16939  prmreclem2  16950  sylow1lem1  19630  sylow1lem3  19632  sylow1lem5  19634  pgpfi  19637  slwhash  19656  fislw  19657  gexexlem  19884  ablfac1lem  20102  ablfac1b  20104  ablfac1c  20105  ablfac1eu  20107  pgpfac1lem2  20109  pgpfac1lem3a  20110  ablfaclem3  20121  mumullem2  27237  chtublem  27269  pclogsum  27273  bposlem1  27342  bposlem3  27344  chebbnd1lem1  27527  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0flblem2  27567  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p8d2  42066  aks4d1p8d3  42067  aks4d1p8  42068  aks6d1c2p2  42100  aks6d1c7  42165