MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pccld 16174
Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pccld.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pccld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
pccld (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem pccld
StepHypRef Expression
1 pccld.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pccld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 pccl 16173 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7138  cn 11623  0cn0 11883  cprime 16002   pCnt cpc 16160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-dvds 15597  df-gcd 15831  df-prm 16003  df-pc 16161
This theorem is referenced by:  pcqmul  16177  pcidlem  16195  pcgcd1  16200  pc2dvds  16202  pcz  16204  pcprmpw2  16205  dvdsprmpweq  16207  pcadd  16212  pcmpt  16215  pcfac  16222  oddprmdvds  16226  pockthg  16229  prmreclem2  16240  sylow1lem1  18712  sylow1lem3  18714  sylow1lem5  18716  pgpfi  18719  slwhash  18738  fislw  18739  gexexlem  18961  ablfac1lem  19179  ablfac1b  19181  ablfac1c  19182  ablfac1eu  19184  pgpfac1lem2  19186  pgpfac1lem3a  19187  ablfaclem3  19198  mumullem2  25754  chtublem  25784  pclogsum  25788  bposlem1  25857  bposlem3  25859  chebbnd1lem1  26042  dchrisum0flblem1  26081  dchrisum0flblem2  26082
  Copyright terms: Public domain W3C validator