Theorem lcmfdvdsb 16603

Description: Biconditional form of lcmfdvds 16602. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfdvdsb	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvdsb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfdvds 16602	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))
2		dvdslcmf 16591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
3		breq1 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) ↔ 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
4	3	rspcv 3561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
5		ssel 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
7	6	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
9	8	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		lcmfcl 16588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		dvdstr 16254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (lcm‘𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
16	15	expd 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
17	16	exp31 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
18	17	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
19	18	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
20	19	com45 97	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
21	4, 20	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
22	21	com15 101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
23	2, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
24	23	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
25	24	3impib 1117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
26	25	ralrimdv 3136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
27	1, 26	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212  lcmclcmf 16549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-lcm 16550  df-lcmf 16551

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  42531