Theorem lcmfdvdsb 16580

Description: Biconditional form of lcmfdvds 16579. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfdvdsb	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvdsb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfdvds 16579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))
2		dvdslcmf 16568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
3		breq1 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) ↔ 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
4	3	rspcv 3609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
5		ssel 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
6	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
7	6	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
8	7	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
9	8	imp 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		lcmfcl 16565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
12	11	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		dvdstr 16237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (lcm‘𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
16	15	expd 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
17	16	exp31 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
18	17	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
19	18	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
20	19	com45 97	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
21	4, 20	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
22	21	com15 101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
23	2, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
24	23	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
25	24	3impib 1117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
26	25	ralrimdv 3153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
27	1, 26	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  ℤcz 12558   ∥ cdvds 16197  lcmclcmf 16526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527  df-lcmf 16528

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  40943