Theorem lcmfdvdsb 16680

Description: Biconditional form of lcmfdvds 16679. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfdvdsb	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvdsb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfdvds 16679	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))
2		dvdslcmf 16668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
3		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) ↔ 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
4	3	rspcv 3618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
5		ssel 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
7	6	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
9	8	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		lcmfcl 16665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		dvdstr 16331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (lcm‘𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
16	15	expd 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
17	16	exp31 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
18	17	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
19	18	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
20	19	com45 97	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
21	4, 20	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
22	21	com15 101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
23	2, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
24	23	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
25	24	3impib 1117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
26	25	ralrimdv 3152	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
27	1, 26	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  ℤcz 12613   ∥ cdvds 16290  lcmclcmf 16626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627  df-lcmf 16628

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  42079