Theorem lcmfdvdsb 16344

Description: Biconditional form of lcmfdvds 16343. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfdvdsb	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvdsb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfdvds 16343	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))
2		dvdslcmf 16332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍))
3		breq1 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) ↔ 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
4	3	rspcv 3556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → 𝑚 ∥ (lcm‘𝑍)))
5		ssel 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ))
7	6	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
9	8	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝑚 ∈ ℤ)
10		lcmfcl 16329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		dvdstr 15999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (lcm‘𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) ∧ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚 ∥ 𝐾))
16	15	expd 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
17	16	exp31 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
18	17	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
19	18	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
20	19	com45 97	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
21	4, 20	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
22	21	com15 101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ 𝑍 𝑥 ∥ (lcm‘𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))))
23	2, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
24	23	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾))))
25	24	3impib 1115	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∥ 𝐾)))
26	25	ralrimdv 3114	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝐾 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
27	1, 26	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  Fincfn 8714  ℤcz 12317   ∥ cdvds 15959  lcmclcmf 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-prod 15612  df-dvds 15960  df-gcd 16198  df-lcm 16291  df-lcmf 16292

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  40081