Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfdvdsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfdvdsb 15985
 Description: Biconditional form of lcmfdvds 15984. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfdvdsb ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvdsb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmfdvds 15984 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
2 dvdslcmf 15973 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
3 breq1 5055 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ (lcm𝑍) ↔ 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
43rspcv 3604 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → (∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍) → 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
5 ssel 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ))
65adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ))
76com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
87adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
98imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝑚 ∈ ℤ)
10 lcmfcl 15970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 12082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) ∈ ℤ)
1211adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm𝑍) ∈ ℤ)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 dvdstr 15646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ (lcm𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚𝐾))
159, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ (lcm𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚𝐾))
1615expd 419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))
1716exp31 423 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑍 → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))))
1817com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))))
1918com24 95 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))))
2019com45 97 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚𝐾)))))
214, 20syld 47 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚𝐾)))))
2221com15 101 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾)))))
232, 22mpd 15 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾))))
2423com12 32 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾))))
25243impib 1113 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾)))
2625ralrimdv 3183 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
271, 26impbid 215 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  Fincfn 8505  ℤcz 11978   ∥ cdvds 15607  lcmclcmf 15931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260  df-dvds 15608  df-gcd 15842  df-lcm 15932  df-lcmf 15933 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator