MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfdvdsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfdvdsb 16397
Description: Biconditional form of lcmfdvds 16396. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfdvdsb ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvdsb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmfdvds 16396 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
2 dvdslcmf 16385 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍))
3 breq1 5084 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 ∥ (lcm𝑍) ↔ 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
43rspcv 3562 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → (∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍) → 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
5 ssel 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ⊆ ℤ → (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ))
65adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ))
76com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
87adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚 ∈ ℤ))
98imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝑚 ∈ ℤ)
10 lcmfcl 16382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) ∈ ℤ)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm𝑍) ∈ ℤ)
13 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 dvdstr 16052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ (lcm𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚𝐾))
159, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ (lcm𝑍) ∥ 𝐾) → 𝑚𝐾))
1615expd 417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑍𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))
1716exp31 421 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑍 → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))))
1817com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝑍 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))))
1918com24 95 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾𝑚𝐾)))))
2019com45 97 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 → (𝑚 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚𝐾)))))
214, 20syld 47 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 → (∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑚𝐾)))))
2221com15 101 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑥𝑍 𝑥 ∥ (lcm𝑍) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾)))))
232, 22mpd 15 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (𝐾 ∈ ℤ → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾))))
2423com12 32 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾))))
25243impib 1116 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → (𝑚𝑍𝑚𝐾)))
2625ralrimdv 3146 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ((lcm𝑍) ∥ 𝐾 → ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
271, 26impbid 211 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ (lcm𝑍) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087  wcel 2104  wral 3062  wss 3892   class class class wbr 5081  cfv 6458  Fincfn 8764  cz 12369  cdvds 16012  lcmclcmf 16343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-prod 15665  df-dvds 16013  df-gcd 16251  df-lcm 16344  df-lcmf 16345
This theorem is referenced by:  aks4d1p3  40286
  Copyright terms: Public domain W3C validator