Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoinvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoinvcl 40061
Description: Closure of multiplicative inverse for endomorphism. We use the scalar inverse of the vector space since it is much simpler than the direct inverse of cdleml8 39940. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoinv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoinv.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoinv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoinv.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoinv.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
tendoinv.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoinv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
tendoinv.n 𝑁 = (invrβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
tendoinvcl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π‘†) β‰  𝑂))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝑆(β„Ž)   π‘ˆ(β„Ž)   𝐸(β„Ž)   𝐹(β„Ž)   𝑁(β„Ž)   𝑂(β„Ž)
Proof of Theorem tendoinvcl
StepHypRef Expression
1 tendoinv.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 tendoinv.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 tendoinv.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4dvhsca 40039 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
61, 2erngdv 39950 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ DivRing)
75, 6eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
873ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
9 simp2 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
10 tendoinv.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
121, 10, 3, 4, 11dvhbase 40040 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = 𝐸)
13123ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = 𝐸)
149, 13eleqtrrd 2836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
15 simp3 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝑆 β‰  𝑂)
165fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
17 tendoinv.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
18 tendoinv.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 tendoinv.o . . . . . . . 8 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2117, 1, 18, 2, 19, 20erng0g 39951 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑂)
2216, 21eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜πΉ) = 𝑂)
23223ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ (0gβ€˜πΉ) = 𝑂)
2415, 23neeqtrrd 3015 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ 𝑆 β‰  (0gβ€˜πΉ))
25 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
26 tendoinv.n . . . . 5 𝑁 = (invrβ€˜πΉ)
2711, 25, 26drnginvrcl 20383 . . . 4 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑆 β‰  (0gβ€˜πΉ)) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
288, 14, 24, 27syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2928, 13eleqtrd 2835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ 𝐸)
3011, 25, 26drnginvrn0 20384 . . . 4 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑆 β‰  (0gβ€˜πΉ)) β†’ (π‘β€˜π‘†) β‰  (0gβ€˜πΉ))
318, 14, 24, 30syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜π‘†) β‰  (0gβ€˜πΉ))
3231, 23neeqtrd 3010 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ (π‘β€˜π‘†) β‰  𝑂)
3329, 32jca 512 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π‘†) β‰  𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202  0gc0g 17387  invrcinvr 20205  DivRingcdr 20361  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  TEndoctendo 39709  EDRingcedring 39710  DVecHcdvh 40035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-dvech 40036
This theorem is referenced by:  tendolinv  40062  tendorinv  40063  dih1dimatlem0  40285  dih1dimatlem  40286
  Copyright terms: Public domain W3C validator