MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem6 28787
Description: Lemma for ax5seg 28791. Given two line segments that are divided into pieces, if the pieces are congruent, then the scaling constant is the same. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–   ๐ต,๐‘–   ๐ถ,๐‘–   ๐ท,๐‘–   ๐‘–,๐ธ   ๐‘–,๐น   ๐‘–,๐‘   ๐‘†,๐‘–   ๐‘‡,๐‘–

Proof of Theorem ax5seglem6
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp22l 1289 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
2 elicc01 13473 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
32simp1bi 1142 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
4 resqcl 14118 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„)
54recnd 11270 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
61, 3, 53syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 simp22r 1290 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘† โˆˆ (0[,]1))
8 elicc01 13473 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘† โˆง ๐‘† โ‰ค 1))
98simp1bi 1142 . . . 4 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
10 resqcl 14118 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„)
1110recnd 11270 . . . 4 (๐‘† โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
127, 9, 113syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
13 fzfid 13968 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
14 simprl1 1215 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
16 fveecn 28755 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
1715, 16sylan 578 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
18 simprl3 1217 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
20 fveecn 28755 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2119, 20sylan 578 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2217, 21subcld 11599 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
2322sqcld 14138 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2413, 23fsumcl 15709 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
25 simp1l 1194 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26 simp1rl 1235 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
27 simp21 1203 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
28 simp23l 1291 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
29 ax5seglem5 28786 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0)
3025, 26, 27, 1, 28, 29syl23anc 1374 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0)
31 simp3l 1198 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ)
32 simprl2 1216 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
33 simprr1 1218 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
34 simprr2 1219 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
35 brcgr 28753 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
3614, 32, 33, 34, 35syl22anc 837 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
37363ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
3831, 37mpbid 231 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2))
39 ax5seglem1 28781 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4025, 15, 19, 1, 28, 39syl122anc 1376 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
41333ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
42 simprr3 1220 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
43423ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
44 simp23r 1292 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))
45 ax5seglem1 28781 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4625, 41, 43, 7, 44, 45syl122anc 1376 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4738, 40, 463eqtr3d 2773 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
48 simp1rr 1236 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
49 simp22 1204 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)))
50 simp23 1205 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–)))))
51 simp3r 1199 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)
52 ax5seglem3 28784 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2))
5325, 26, 48, 49, 50, 31, 51, 52syl322anc 1395 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2))
5453oveq2d 7431 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5547, 54eqtr4d 2768 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
566, 12, 24, 30, 55mulcan2ad 11878 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2))
572simp2bi 1143 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‡)
583, 57jca 510 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡))
591, 58syl 17 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡))
608simp2bi 1143 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
619, 60jca 510 . . . 4 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†))
627, 61syl 17 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†))
63 sq11 14125 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡) โˆง (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2) โ†” ๐‘‡ = ๐‘†))
6459, 62, 63syl2anc 582 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2) โ†” ๐‘‡ = ๐‘†))
6556, 64mpbid 231 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โŸจcop 4630   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โ‰ค cle 11277   โˆ’ cmin 11472  โ„•cn 12240  2c2 12295  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  โ†‘cexp 14056  ฮฃcsu 15662  ๐”ผcee 28741  Cgrccgr 28743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-ee 28744  df-cgr 28746
This theorem is referenced by:  ax5seg  28791
  Copyright terms: Public domain W3C validator