MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem6 28700
Description: Lemma for ax5seg 28704. Given two line segments that are divided into pieces, if the pieces are congruent, then the scaling constant is the same. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–   ๐ต,๐‘–   ๐ถ,๐‘–   ๐ท,๐‘–   ๐‘–,๐ธ   ๐‘–,๐น   ๐‘–,๐‘   ๐‘†,๐‘–   ๐‘‡,๐‘–

Proof of Theorem ax5seglem6
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp22l 1289 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
2 elicc01 13449 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โ‰ค 1))
32simp1bi 1142 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
4 resqcl 14094 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„)
54recnd 11246 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
61, 3, 53syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 simp22r 1290 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘† โˆˆ (0[,]1))
8 elicc01 13449 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘† โˆง ๐‘† โ‰ค 1))
98simp1bi 1142 . . . 4 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
10 resqcl 14094 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . 4 (๐‘† โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
127, 9, 113syl 18 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘†โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
13 fzfid 13944 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
14 simprl1 1215 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
16 fveecn 28668 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
1715, 16sylan 579 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
18 simprl3 1217 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
20 fveecn 28668 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2119, 20sylan 579 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
2217, 21subcld 11575 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
2322sqcld 14114 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2413, 23fsumcl 15685 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
25 simp1l 1194 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26 simp1rl 1235 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
27 simp21 1203 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
28 simp23l 1291 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
29 ax5seglem5 28699 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0)
3025, 26, 27, 1, 28, 29syl23anc 1374 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) โ‰  0)
31 simp3l 1198 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ)
32 simprl2 1216 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
33 simprr1 1218 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
34 simprr2 1219 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
35 brcgr 28666 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
3614, 32, 33, 34, 35syl22anc 836 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
37363ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
3831, 37mpbid 231 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2))
39 ax5seglem1 28694 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4025, 15, 19, 1, 28, 39syl122anc 1376 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
41333ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
42 simprr3 1220 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
43423ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
44 simp23r 1292 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))
45 ax5seglem1 28694 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4625, 41, 43, 7, 44, 45syl122anc 1376 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ธโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
4738, 40, 463eqtr3d 2774 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
48 simp1rr 1236 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
49 simp22 1204 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)))
50 simp23 1205 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–)))))
51 simp3r 1199 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)
52 ax5seglem3 28697 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ((๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2))
5325, 26, 48, 49, 50, 31, 51, 52syl322anc 1395 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2))
5453oveq2d 7421 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ทโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐นโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
5547, 54eqtr4d 2769 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)) = ((๐‘†โ†‘2) ยท ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘—) โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))โ†‘2)))
566, 12, 24, 30, 55mulcan2ad 11854 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2))
572simp2bi 1143 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‡)
583, 57jca 511 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡))
591, 58syl 17 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡))
608simp2bi 1143 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
619, 60jca 511 . . . 4 (๐‘† โˆˆ (0[,]1) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†))
627, 61syl 17 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†))
63 sq11 14101 . . 3 (((๐‘‡ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡) โˆง (๐‘† โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘†)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2) โ†” ๐‘‡ = ๐‘†))
6459, 62, 63syl2anc 583 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) = (๐‘†โ†‘2) โ†” ๐‘‡ = ๐‘†))
6556, 64mpbid 231 1 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ธ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โˆง (๐ด โ‰  ๐ต โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘† โˆˆ (0[,]1)) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ธโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘†) ยท (๐ทโ€˜๐‘–)) + (๐‘† ยท (๐นโ€˜๐‘–))))) โˆง (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉCgrโŸจ๐ท, ๐ธโŸฉ โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉCgrโŸจ๐ธ, ๐นโŸฉ)) โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638  ๐”ผcee 28654  Cgrccgr 28656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ee 28657  df-cgr 28659
This theorem is referenced by:  ax5seg  28704
  Copyright terms: Public domain W3C validator