Theorem 0elunit 13492

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11206	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12338	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11733	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13489	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1358	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   ≤ cle 11240  [,]cicc 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-icc 13375

This theorem is referenced by:  xrhmeo  25070  htpycom  25100  htpyid  25101  htpyco1  25102  htpyco2  25103  htpycc  25104  phtpy01  25109  phtpycom  25112  phtpyid  25113  phtpyco2  25114  phtpycc  25115  reparphti  25121  pcocn  25141  pcohtpylem  25143  pcoptcl  25145  pcopt  25146  pcopt2  25147  pcoass  25148  pcorevcl  25149  pcorevlem  25150  pi1xfrf  25177  pi1xfr  25179  pi1xfrcnvlem  25180  pi1xfrcnv  25181  pi1cof  25183  pi1coghm  25185  dvlipcn  26118  lgamgulmlem2  27156  ttgcontlem1  29171  brbtwn2  29192  axsegconlem1  29204  axpaschlem  29227  axcontlem7  29257  axcontlem8  29258  xrge0iifcnv  34264  xrge0iifiso  34266  xrge0iifhom  34268  cnpconn  35617  pconnconn  35618  txpconn  35619  ptpconn  35620  indispconn  35621  connpconn  35622  sconnpi1  35626  txsconnlem  35627  txsconn  35628  cvxpconn  35629  cvxsconn  35630  cvmliftlem14  35684  cvmlift2lem2  35691  cvmlift2lem3  35692  cvmlift2lem8  35697  cvmlift2lem12  35701  cvmlift2lem13  35702  cvmliftphtlem  35704  cvmliftpht  35705  cvmlift3lem1  35706  cvmlift3lem2  35707  cvmlift3lem4  35709  cvmlift3lem5  35710  cvmlift3lem6  35711  cvmlift3lem9  35714  lcmineqlem12  42692