Theorem 0elunit 13385

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11134	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12246	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11660	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13382	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24900  htpycom  24931  htpyid  24932  htpyco1  24933  htpyco2  24934  htpycc  24935  phtpy01  24940  phtpycom  24943  phtpyid  24944  phtpyco2  24945  phtpycc  24946  reparphti  24952  reparphtiOLD  24953  pcocn  24973  pcohtpylem  24975  pcoptcl  24977  pcopt  24978  pcopt2  24979  pcoass  24980  pcorevcl  24981  pcorevlem  24982  pi1xfrf  25009  pi1xfr  25011  pi1xfrcnvlem  25012  pi1xfrcnv  25013  pi1cof  25015  pi1coghm  25017  dvlipcn  25955  lgamgulmlem2  26996  ttgcontlem1  28957  brbtwn2  28978  axsegconlem1  28990  axpaschlem  29013  axcontlem7  29043  axcontlem8  29044  xrge0iifcnv  34090  xrge0iifiso  34092  xrge0iifhom  34094  cnpconn  35424  pconnconn  35425  txpconn  35426  ptpconn  35427  indispconn  35428  connpconn  35429  sconnpi1  35433  txsconnlem  35434  txsconn  35435  cvxpconn  35436  cvxsconn  35437  cvmliftlem14  35491  cvmlift2lem2  35498  cvmlift2lem3  35499  cvmlift2lem8  35504  cvmlift2lem12  35508  cvmlift2lem13  35509  cvmliftphtlem  35511  cvmliftpht  35512  cvmlift3lem1  35513  cvmlift3lem2  35514  cvmlift3lem4  35516  cvmlift3lem5  35517  cvmlift3lem6  35518  cvmlift3lem9  35521  lcmineqlem12  42294