Theorem 0elunit 13467

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11177	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12313	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11704	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13464	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1354	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   ≤ cle 11211  [,]cicc 13346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-icc 13350

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24996  htpycom  25026  htpyid  25027  htpyco1  25028  htpyco2  25029  htpycc  25030  phtpy01  25035  phtpycom  25038  phtpyid  25039  phtpyco2  25040  phtpycc  25041  reparphti  25047  pcocn  25067  pcohtpylem  25069  pcoptcl  25071  pcopt  25072  pcopt2  25073  pcoass  25074  pcorevcl  25075  pcorevlem  25076  pi1xfrf  25103  pi1xfr  25105  pi1xfrcnvlem  25106  pi1xfrcnv  25107  pi1cof  25109  pi1coghm  25111  dvlipcn  26044  lgamgulmlem2  27082  ttgcontlem1  29042  brbtwn2  29063  axsegconlem1  29075  axpaschlem  29098  axcontlem7  29128  axcontlem8  29129  xrge0iifcnv  34191  xrge0iifiso  34193  xrge0iifhom  34195  cnpconn  35541  pconnconn  35542  txpconn  35543  ptpconn  35544  indispconn  35545  connpconn  35546  sconnpi1  35550  txsconnlem  35551  txsconn  35552  cvxpconn  35553  cvxsconn  35554  cvmliftlem14  35608  cvmlift2lem2  35615  cvmlift2lem3  35616  cvmlift2lem8  35621  cvmlift2lem12  35625  cvmlift2lem13  35626  cvmliftphtlem  35628  cvmliftpht  35629  cvmlift3lem1  35630  cvmlift3lem2  35631  cvmlift3lem4  35633  cvmlift3lem5  35634  cvmlift3lem6  35635  cvmlift3lem9  35638  lcmineqlem12  42618