Theorem 0elunit 12936

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10714	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11810	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11234	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 12933	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  ℝcr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   ≤ cle 10747  [,]cicc 12817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-icc 12821

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23691  htpycom  23721  htpyid  23722  htpyco1  23723  htpyco2  23724  htpycc  23725  phtpy01  23730  phtpycom  23733  phtpyid  23734  phtpyco2  23735  phtpycc  23736  reparphti  23742  pcocn  23762  pcohtpylem  23764  pcoptcl  23766  pcopt  23767  pcopt2  23768  pcoass  23769  pcorevcl  23770  pcorevlem  23771  pi1xfrf  23798  pi1xfr  23800  pi1xfrcnvlem  23801  pi1xfrcnv  23802  pi1cof  23804  pi1coghm  23806  dvlipcn  24738  lgamgulmlem2  25759  ttgcontlem1  26823  brbtwn2  26843  axsegconlem1  26855  axpaschlem  26878  axcontlem7  26908  axcontlem8  26909  xrge0iifcnv  31447  xrge0iifiso  31449  xrge0iifhom  31451  cnpconn  32755  pconnconn  32756  txpconn  32757  ptpconn  32758  indispconn  32759  connpconn  32760  sconnpi1  32764  txsconnlem  32765  txsconn  32766  cvxpconn  32767  cvxsconn  32768  cvmliftlem14  32822  cvmlift2lem2  32829  cvmlift2lem3  32830  cvmlift2lem8  32835  cvmlift2lem12  32839  cvmlift2lem13  32840  cvmliftphtlem  32842  cvmliftpht  32843  cvmlift3lem1  32844  cvmlift3lem2  32845  cvmlift3lem4  32847  cvmlift3lem5  32848  cvmlift3lem6  32849  cvmlift3lem9  32852  lcmineqlem12  39657