Theorem 0elunit 13522

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11234	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12366	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11761	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13519	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1360	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ≤ cle 11268  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-icc 13405

This theorem is used by:  xrhmeo  25174  htpycom  25204  htpyid  25205  htpyco1  25206  htpyco2  25207  htpycc  25208  phtpy01  25213  phtpycom  25216  phtpyid  25217  phtpyco2  25218  phtpycc  25219  reparphti  25225  pcocn  25245  pcohtpylem  25247  pcoptcl  25249  pcopt  25250  pcopt2  25251  pcoass  25252  pcorevcl  25253  pcorevlem  25254  pi1xfrf  25281  pi1xfr  25283  pi1xfrcnvlem  25284  pi1xfrcnv  25285  pi1cof  25287  pi1coghm  25289  dvlipcn  26221  lgamgulmlem2  27266  ttgcontlem1  29341  brbtwn2  29362  axsegconlem1  29374  axpaschlem  29397  axcontlem7  29427  axcontlem8  29428  xrge0iifcnv  34443  xrge0iifiso  34445  xrge0iifhom  34447  cnpconn  35809  pconnconn  35810  txpconn  35811  ptpconn  35812  indispconn  35813  connpconn  35814  sconnpi1  35818  txsconnlem  35819  txsconn  35820  cvxpconn  35821  cvxsconn  35822  cvmliftlem14  35876  cvmlift2lem2  35883  cvmlift2lem3  35884  cvmlift2lem8  35889  cvmlift2lem12  35893  cvmlift2lem13  35894  cvmliftphtlem  35896  cvmliftpht  35897  cvmlift3lem1  35898  cvmlift3lem2  35899  cvmlift3lem4  35901  cvmlift3lem5  35902  cvmlift3lem6  35903  cvmlift3lem9  35906  lcmineqlem12  42906