Theorem 0elunit 12705

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10489	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11586	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11011	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 12704	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1334	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   ≤ cle 10522  [,]cicc 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-icc 12595

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23233  htpycom  23263  htpyid  23264  htpyco1  23265  htpyco2  23266  htpycc  23267  phtpy01  23272  phtpycom  23275  phtpyid  23276  phtpyco2  23277  phtpycc  23278  reparphti  23284  pcocn  23304  pcohtpylem  23306  pcoptcl  23308  pcopt  23309  pcopt2  23310  pcoass  23311  pcorevcl  23312  pcorevlem  23313  pi1xfrf  23340  pi1xfr  23342  pi1xfrcnvlem  23343  pi1xfrcnv  23344  pi1cof  23346  pi1coghm  23348  dvlipcn  24274  lgamgulmlem2  25289  ttgcontlem1  26354  brbtwn2  26374  axsegconlem1  26386  axpaschlem  26409  axcontlem7  26439  axcontlem8  26440  xrge0iifcnv  30793  xrge0iifiso  30795  xrge0iifhom  30797  cnpconn  32085  pconnconn  32086  txpconn  32087  ptpconn  32088  indispconn  32089  connpconn  32090  sconnpi1  32094  txsconnlem  32095  txsconn  32096  cvxpconn  32097  cvxsconn  32098  cvmliftlem14  32152  cvmlift2lem2  32159  cvmlift2lem3  32160  cvmlift2lem8  32165  cvmlift2lem12  32169  cvmlift2lem13  32170  cvmliftphtlem  32172  cvmliftpht  32173  cvmlift3lem1  32174  cvmlift3lem2  32175  cvmlift3lem4  32177  cvmlift3lem5  32178  cvmlift3lem6  32179  cvmlift3lem9  32182