Theorem 0elunit 13430

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11176	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12287	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11701	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13427	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24844  htpycom  24875  htpyid  24876  htpyco1  24877  htpyco2  24878  htpycc  24879  phtpy01  24884  phtpycom  24887  phtpyid  24888  phtpyco2  24889  phtpycc  24890  reparphti  24896  reparphtiOLD  24897  pcocn  24917  pcohtpylem  24919  pcoptcl  24921  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcoass  24924  pcorevcl  24925  pcorevlem  24926  pi1xfrf  24953  pi1xfr  24955  pi1xfrcnvlem  24956  pi1xfrcnv  24957  pi1cof  24959  pi1coghm  24961  dvlipcn  25899  lgamgulmlem2  26940  ttgcontlem1  28812  brbtwn2  28832  axsegconlem1  28844  axpaschlem  28867  axcontlem7  28897  axcontlem8  28898  xrge0iifcnv  33923  xrge0iifiso  33925  xrge0iifhom  33927  cnpconn  35217  pconnconn  35218  txpconn  35219  ptpconn  35220  indispconn  35221  connpconn  35222  sconnpi1  35226  txsconnlem  35227  txsconn  35228  cvxpconn  35229  cvxsconn  35230  cvmliftlem14  35284  cvmlift2lem2  35291  cvmlift2lem3  35292  cvmlift2lem8  35297  cvmlift2lem12  35301  cvmlift2lem13  35302  cvmliftphtlem  35304  cvmliftpht  35305  cvmlift3lem1  35306  cvmlift3lem2  35307  cvmlift3lem4  35309  cvmlift3lem5  35310  cvmlift3lem6  35311  cvmlift3lem9  35314  lcmineqlem12  42028