Theorem 0elunit 13604

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11314	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12448	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11843	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13601	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1360	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   ≤ cle 11348  [,]cicc 13483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-icc 13487

This theorem is used by:  xrhmeo  25273  htpycom  25303  htpyid  25304  htpyco1  25305  htpyco2  25306  htpycc  25307  phtpy01  25312  phtpycom  25315  phtpyid  25316  phtpyco2  25317  phtpycc  25318  reparphti  25324  pcocn  25344  pcohtpylem  25346  pcoptcl  25348  pcopt  25349  pcopt2  25350  pcoass  25351  pcorevcl  25352  pcorevlem  25353  pi1xfrf  25380  pi1xfr  25382  pi1xfrcnvlem  25383  pi1xfrcnv  25384  pi1cof  25386  pi1coghm  25388  dvlipcn  26320  lgamgulmlem2  27363  ttgcontlem1  29468  brbtwn2  29489  axsegconlem1  29501  axpaschlem  29524  axcontlem7  29554  axcontlem8  29555  xrge0iifcnv  34612  xrge0iifiso  34614  xrge0iifhom  34616  cnpconn  36082  pconnconn  36083  txpconn  36084  ptpconn  36085  indispconn  36086  connpconn  36087  sconnpi1  36091  txsconnlem  36092  txsconn  36093  cvxpconn  36094  cvxsconn  36095  cvmliftlem14  36149  cvmlift2lem2  36156  cvmlift2lem3  36157  cvmlift2lem8  36162  cvmlift2lem12  36166  cvmlift2lem13  36167  cvmliftphtlem  36169  cvmliftpht  36170  cvmlift3lem1  36171  cvmlift3lem2  36172  cvmlift3lem4  36174  cvmlift3lem5  36175  cvmlift3lem6  36176  cvmlift3lem9  36179  lcmineqlem12  43184