Theorem 0elunit 13413

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11137	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12273	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11664	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13410	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1348	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24931  htpycom  24961  htpyid  24962  htpyco1  24963  htpyco2  24964  htpycc  24965  phtpy01  24970  phtpycom  24973  phtpyid  24974  phtpyco2  24975  phtpycc  24976  reparphti  24982  pcocn  25002  pcohtpylem  25004  pcoptcl  25006  pcopt  25007  pcopt2  25008  pcoass  25009  pcorevcl  25010  pcorevlem  25011  pi1xfrf  25038  pi1xfr  25040  pi1xfrcnvlem  25041  pi1xfrcnv  25042  pi1cof  25044  pi1coghm  25046  dvlipcn  25979  lgamgulmlem2  27011  ttgcontlem1  28971  brbtwn2  28992  axsegconlem1  29004  axpaschlem  29027  axcontlem7  29057  axcontlem8  29058  xrge0iifcnv  34117  xrge0iifiso  34119  xrge0iifhom  34121  cnpconn  35458  pconnconn  35459  txpconn  35460  ptpconn  35461  indispconn  35462  connpconn  35463  sconnpi1  35467  txsconnlem  35468  txsconn  35469  cvxpconn  35470  cvxsconn  35471  cvmliftlem14  35525  cvmlift2lem2  35532  cvmlift2lem3  35533  cvmlift2lem8  35538  cvmlift2lem12  35542  cvmlift2lem13  35543  cvmliftphtlem  35545  cvmliftpht  35546  cvmlift3lem1  35547  cvmlift3lem2  35548  cvmlift3lem4  35550  cvmlift3lem5  35551  cvmlift3lem6  35552  cvmlift3lem9  35555  lcmineqlem12  42525