Theorem 0elunit 13640

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11349	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12484	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11879	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13637	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1360	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-icc 13523

This theorem is used by:  xrhmeo  25322  htpycom  25352  htpyid  25353  htpyco1  25354  htpyco2  25355  htpycc  25356  phtpy01  25361  phtpycom  25364  phtpyid  25365  phtpyco2  25366  phtpycc  25367  reparphti  25373  pcocn  25393  pcohtpylem  25395  pcoptcl  25397  pcopt  25398  pcopt2  25399  pcoass  25400  pcorevcl  25401  pcorevlem  25402  pi1xfrf  25429  pi1xfr  25431  pi1xfrcnvlem  25432  pi1xfrcnv  25433  pi1cof  25435  pi1coghm  25437  dvlipcn  26369  lgamgulmlem2  27414  ttgcontlem1  29519  brbtwn2  29540  axsegconlem1  29552  axpaschlem  29575  axcontlem7  29605  axcontlem8  29606  xrge0iifcnv  34676  xrge0iifiso  34678  xrge0iifhom  34680  cnpconn  36203  pconnconn  36204  txpconn  36205  ptpconn  36206  indispconn  36207  connpconn  36208  sconnpi1  36212  txsconnlem  36213  txsconn  36214  cvxpconn  36215  cvxsconn  36216  cvmliftlem14  36270  cvmlift2lem2  36277  cvmlift2lem3  36278  cvmlift2lem8  36283  cvmlift2lem12  36287  cvmlift2lem13  36288  cvmliftphtlem  36290  cvmliftpht  36291  cvmlift3lem1  36292  cvmlift3lem2  36293  cvmlift3lem4  36295  cvmlift3lem5  36296  cvmlift3lem6  36297  cvmlift3lem9  36300  lcmineqlem12  43356