Theorem 0elunit 13247

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11023	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12120	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11544	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13244	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1341	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℝcr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   ≤ cle 11056  [,]cicc 13128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-icc 13132

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24154  htpycom  24184  htpyid  24185  htpyco1  24186  htpyco2  24187  htpycc  24188  phtpy01  24193  phtpycom  24196  phtpyid  24197  phtpyco2  24198  phtpycc  24199  reparphti  24205  pcocn  24225  pcohtpylem  24227  pcoptcl  24229  pcopt  24230  pcopt2  24231  pcoass  24232  pcorevcl  24233  pcorevlem  24234  pi1xfrf  24261  pi1xfr  24263  pi1xfrcnvlem  24264  pi1xfrcnv  24265  pi1cof  24267  pi1coghm  24269  dvlipcn  25203  lgamgulmlem2  26224  ttgcontlem1  27297  brbtwn2  27318  axsegconlem1  27330  axpaschlem  27353  axcontlem7  27383  axcontlem8  27384  xrge0iifcnv  31928  xrge0iifiso  31930  xrge0iifhom  31932  cnpconn  33237  pconnconn  33238  txpconn  33239  ptpconn  33240  indispconn  33241  connpconn  33242  sconnpi1  33246  txsconnlem  33247  txsconn  33248  cvxpconn  33249  cvxsconn  33250  cvmliftlem14  33304  cvmlift2lem2  33311  cvmlift2lem3  33312  cvmlift2lem8  33317  cvmlift2lem12  33321  cvmlift2lem13  33322  cvmliftphtlem  33324  cvmliftpht  33325  cvmlift3lem1  33326  cvmlift3lem2  33327  cvmlift3lem4  33329  cvmlift3lem5  33330  cvmlift3lem6  33331  cvmlift3lem9  33334  lcmineqlem12  40090