Theorem 0elunit 13446

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11216	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12313	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11737	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13443	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24462  htpycom  24492  htpyid  24493  htpyco1  24494  htpyco2  24495  htpycc  24496  phtpy01  24501  phtpycom  24504  phtpyid  24505  phtpyco2  24506  phtpycc  24507  reparphti  24513  pcocn  24533  pcohtpylem  24535  pcoptcl  24537  pcopt  24538  pcopt2  24539  pcoass  24540  pcorevcl  24541  pcorevlem  24542  pi1xfrf  24569  pi1xfr  24571  pi1xfrcnvlem  24572  pi1xfrcnv  24573  pi1cof  24575  pi1coghm  24577  dvlipcn  25511  lgamgulmlem2  26534  ttgcontlem1  28142  brbtwn2  28163  axsegconlem1  28175  axpaschlem  28198  axcontlem7  28228  axcontlem8  28229  xrge0iifcnv  32913  xrge0iifiso  32915  xrge0iifhom  32917  cnpconn  34221  pconnconn  34222  txpconn  34223  ptpconn  34224  indispconn  34225  connpconn  34226  sconnpi1  34230  txsconnlem  34231  txsconn  34232  cvxpconn  34233  cvxsconn  34234  cvmliftlem14  34288  cvmlift2lem2  34295  cvmlift2lem3  34296  cvmlift2lem8  34301  cvmlift2lem12  34305  cvmlift2lem13  34306  cvmliftphtlem  34308  cvmliftpht  34309  cvmlift3lem1  34310  cvmlift3lem2  34311  cvmlift3lem4  34313  cvmlift3lem5  34314  cvmlift3lem6  34315  cvmlift3lem9  34318  gg-reparphti  35172  lcmineqlem12  40905