Theorem 0elunit 13441

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11211	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12308	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11732	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13438	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   ≤ cle 11244  [,]cicc 13322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-icc 13326

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24443  htpycom  24473  htpyid  24474  htpyco1  24475  htpyco2  24476  htpycc  24477  phtpy01  24482  phtpycom  24485  phtpyid  24486  phtpyco2  24487  phtpycc  24488  reparphti  24494  pcocn  24514  pcohtpylem  24516  pcoptcl  24518  pcopt  24519  pcopt2  24520  pcoass  24521  pcorevcl  24522  pcorevlem  24523  pi1xfrf  24550  pi1xfr  24552  pi1xfrcnvlem  24553  pi1xfrcnv  24554  pi1cof  24556  pi1coghm  24558  dvlipcn  25492  lgamgulmlem2  26513  ttgcontlem1  28121  brbtwn2  28142  axsegconlem1  28154  axpaschlem  28177  axcontlem7  28207  axcontlem8  28208  xrge0iifcnv  32850  xrge0iifiso  32852  xrge0iifhom  32854  cnpconn  34158  pconnconn  34159  txpconn  34160  ptpconn  34161  indispconn  34162  connpconn  34163  sconnpi1  34167  txsconnlem  34168  txsconn  34169  cvxpconn  34170  cvxsconn  34171  cvmliftlem14  34225  cvmlift2lem2  34232  cvmlift2lem3  34233  cvmlift2lem8  34238  cvmlift2lem12  34242  cvmlift2lem13  34243  cvmliftphtlem  34245  cvmliftpht  34246  cvmlift3lem1  34247  cvmlift3lem2  34248  cvmlift3lem4  34250  cvmlift3lem5  34251  cvmlift3lem6  34252  cvmlift3lem9  34255  gg-reparphti  35109  lcmineqlem12  40842