Theorem 0elunit 13507

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11221	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12353	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11748	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13504	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1360	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   ≤ cle 11255  [,]cicc 13386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-icc 13390

This theorem is used by:  xrhmeo  25134  htpycom  25164  htpyid  25165  htpyco1  25166  htpyco2  25167  htpycc  25168  phtpy01  25173  phtpycom  25176  phtpyid  25177  phtpyco2  25178  phtpycc  25179  reparphti  25185  pcocn  25205  pcohtpylem  25207  pcoptcl  25209  pcopt  25210  pcopt2  25211  pcoass  25212  pcorevcl  25213  pcorevlem  25214  pi1xfrf  25241  pi1xfr  25243  pi1xfrcnvlem  25244  pi1xfrcnv  25245  pi1cof  25247  pi1coghm  25249  dvlipcn  26182  lgamgulmlem2  27223  ttgcontlem1  29263  brbtwn2  29284  axsegconlem1  29296  axpaschlem  29319  axcontlem7  29349  axcontlem8  29350  xrge0iifcnv  34346  xrge0iifiso  34348  xrge0iifhom  34350  cnpconn  35735  pconnconn  35736  txpconn  35737  ptpconn  35738  indispconn  35739  connpconn  35740  sconnpi1  35744  txsconnlem  35745  txsconn  35746  cvxpconn  35747  cvxsconn  35748  cvmliftlem14  35802  cvmlift2lem2  35809  cvmlift2lem3  35810  cvmlift2lem8  35815  cvmlift2lem12  35819  cvmlift2lem13  35820  cvmliftphtlem  35822  cvmliftpht  35823  cvmlift3lem1  35824  cvmlift3lem2  35825  cvmlift3lem4  35827  cvmlift3lem5  35828  cvmlift3lem6  35829  cvmlift3lem9  35832  lcmineqlem12  42840