Theorem 0elunit 13593

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11303	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12437	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11832	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13590	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1360	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   ≤ cle 11337  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-icc 13476

This theorem is used by:  xrhmeo  25260  htpycom  25290  htpyid  25291  htpyco1  25292  htpyco2  25293  htpycc  25294  phtpy01  25299  phtpycom  25302  phtpyid  25303  phtpyco2  25304  phtpycc  25305  reparphti  25311  pcocn  25331  pcohtpylem  25333  pcoptcl  25335  pcopt  25336  pcopt2  25337  pcoass  25338  pcorevcl  25339  pcorevlem  25340  pi1xfrf  25367  pi1xfr  25369  pi1xfrcnvlem  25370  pi1xfrcnv  25371  pi1cof  25373  pi1coghm  25375  dvlipcn  26307  lgamgulmlem2  27350  ttgcontlem1  29455  brbtwn2  29476  axsegconlem1  29488  axpaschlem  29511  axcontlem7  29541  axcontlem8  29542  xrge0iifcnv  34558  xrge0iifiso  34560  xrge0iifhom  34562  cnpconn  35974  pconnconn  35975  txpconn  35976  ptpconn  35977  indispconn  35978  connpconn  35979  sconnpi1  35983  txsconnlem  35984  txsconn  35985  cvxpconn  35986  cvxsconn  35987  cvmliftlem14  36041  cvmlift2lem2  36048  cvmlift2lem3  36049  cvmlift2lem8  36054  cvmlift2lem12  36058  cvmlift2lem13  36059  cvmliftphtlem  36061  cvmliftpht  36062  cvmlift3lem1  36063  cvmlift3lem2  36064  cvmlift3lem4  36066  cvmlift3lem5  36067  cvmlift3lem6  36068  cvmlift3lem9  36071  lcmineqlem12  43070