Theorem 0elunit 12858

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10645	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11741	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11165	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 12857	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1337	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   ≤ cle 10678  [,]cicc 12744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-icc 12748

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23552  htpycom  23582  htpyid  23583  htpyco1  23584  htpyco2  23585  htpycc  23586  phtpy01  23591  phtpycom  23594  phtpyid  23595  phtpyco2  23596  phtpycc  23597  reparphti  23603  pcocn  23623  pcohtpylem  23625  pcoptcl  23627  pcopt  23628  pcopt2  23629  pcoass  23630  pcorevcl  23631  pcorevlem  23632  pi1xfrf  23659  pi1xfr  23661  pi1xfrcnvlem  23662  pi1xfrcnv  23663  pi1cof  23665  pi1coghm  23667  dvlipcn  24593  lgamgulmlem2  25609  ttgcontlem1  26673  brbtwn2  26693  axsegconlem1  26705  axpaschlem  26728  axcontlem7  26758  axcontlem8  26759  xrge0iifcnv  31178  xrge0iifiso  31180  xrge0iifhom  31182  cnpconn  32479  pconnconn  32480  txpconn  32481  ptpconn  32482  indispconn  32483  connpconn  32484  sconnpi1  32488  txsconnlem  32489  txsconn  32490  cvxpconn  32491  cvxsconn  32492  cvmliftlem14  32546  cvmlift2lem2  32553  cvmlift2lem3  32554  cvmlift2lem8  32559  cvmlift2lem12  32563  cvmlift2lem13  32564  cvmliftphtlem  32566  cvmliftpht  32567  cvmlift3lem1  32568  cvmlift3lem2  32569  cvmlift3lem4  32571  cvmlift3lem5  32572  cvmlift3lem6  32573  cvmlift3lem9  32576