Theorem 0elunit 13411

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11135	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12271	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11662	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13408	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1343	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   ≤ cle 11169  [,]cicc 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-icc 13294

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24922  htpycom  24952  htpyid  24953  htpyco1  24954  htpyco2  24955  htpycc  24956  phtpy01  24961  phtpycom  24964  phtpyid  24965  phtpyco2  24966  phtpycc  24967  reparphti  24973  pcocn  24993  pcohtpylem  24995  pcoptcl  24997  pcopt  24998  pcopt2  24999  pcoass  25000  pcorevcl  25001  pcorevlem  25002  pi1xfrf  25029  pi1xfr  25031  pi1xfrcnvlem  25032  pi1xfrcnv  25033  pi1cof  25035  pi1coghm  25037  dvlipcn  25971  lgamgulmlem2  27011  ttgcontlem1  28972  brbtwn2  28993  axsegconlem1  29005  axpaschlem  29028  axcontlem7  29058  axcontlem8  29059  xrge0iifcnv  34098  xrge0iifiso  34100  xrge0iifhom  34102  cnpconn  35433  pconnconn  35434  txpconn  35435  ptpconn  35436  indispconn  35437  connpconn  35438  sconnpi1  35442  txsconnlem  35443  txsconn  35444  cvxpconn  35445  cvxsconn  35446  cvmliftlem14  35500  cvmlift2lem2  35507  cvmlift2lem3  35508  cvmlift2lem8  35513  cvmlift2lem12  35517  cvmlift2lem13  35518  cvmliftphtlem  35520  cvmliftpht  35521  cvmlift3lem1  35522  cvmlift3lem2  35523  cvmlift3lem4  35525  cvmlift3lem5  35526  cvmlift3lem6  35527  cvmlift3lem9  35530  lcmineqlem12  42490