Theorem 0elunit 13450

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11220	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12317	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11741	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13447	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1339	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ≤ cle 11253  [,]cicc 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-icc 13335

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24691  htpycom  24722  htpyid  24723  htpyco1  24724  htpyco2  24725  htpycc  24726  phtpy01  24731  phtpycom  24734  phtpyid  24735  phtpyco2  24736  phtpycc  24737  reparphti  24743  reparphtiOLD  24744  pcocn  24764  pcohtpylem  24766  pcoptcl  24768  pcopt  24769  pcopt2  24770  pcoass  24771  pcorevcl  24772  pcorevlem  24773  pi1xfrf  24800  pi1xfr  24802  pi1xfrcnvlem  24803  pi1xfrcnv  24804  pi1cof  24806  pi1coghm  24808  dvlipcn  25746  lgamgulmlem2  26770  ttgcontlem1  28409  brbtwn2  28430  axsegconlem1  28442  axpaschlem  28465  axcontlem7  28495  axcontlem8  28496  xrge0iifcnv  33211  xrge0iifiso  33213  xrge0iifhom  33215  cnpconn  34519  pconnconn  34520  txpconn  34521  ptpconn  34522  indispconn  34523  connpconn  34524  sconnpi1  34528  txsconnlem  34529  txsconn  34530  cvxpconn  34531  cvxsconn  34532  cvmliftlem14  34586  cvmlift2lem2  34593  cvmlift2lem3  34594  cvmlift2lem8  34599  cvmlift2lem12  34603  cvmlift2lem13  34604  cvmliftphtlem  34606  cvmliftpht  34607  cvmlift3lem1  34608  cvmlift3lem2  34609  cvmlift3lem4  34611  cvmlift3lem5  34612  cvmlift3lem6  34613  cvmlift3lem9  34616  lcmineqlem12  41211