Theorem 0elunit 13445

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11215	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12312	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11736	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13442	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1341	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ≤ cle 11248  [,]cicc 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-icc 13330

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24461  htpycom  24491  htpyid  24492  htpyco1  24493  htpyco2  24494  htpycc  24495  phtpy01  24500  phtpycom  24503  phtpyid  24504  phtpyco2  24505  phtpycc  24506  reparphti  24512  pcocn  24532  pcohtpylem  24534  pcoptcl  24536  pcopt  24537  pcopt2  24538  pcoass  24539  pcorevcl  24540  pcorevlem  24541  pi1xfrf  24568  pi1xfr  24570  pi1xfrcnvlem  24571  pi1xfrcnv  24572  pi1cof  24574  pi1coghm  24576  dvlipcn  25510  lgamgulmlem2  26531  ttgcontlem1  28139  brbtwn2  28160  axsegconlem1  28172  axpaschlem  28195  axcontlem7  28225  axcontlem8  28226  xrge0iifcnv  32908  xrge0iifiso  32910  xrge0iifhom  32912  cnpconn  34216  pconnconn  34217  txpconn  34218  ptpconn  34219  indispconn  34220  connpconn  34221  sconnpi1  34225  txsconnlem  34226  txsconn  34227  cvxpconn  34228  cvxsconn  34229  cvmliftlem14  34283  cvmlift2lem2  34290  cvmlift2lem3  34291  cvmlift2lem8  34296  cvmlift2lem12  34300  cvmlift2lem13  34301  cvmliftphtlem  34303  cvmliftpht  34304  cvmlift3lem1  34305  cvmlift3lem2  34306  cvmlift3lem4  34308  cvmlift3lem5  34309  cvmlift3lem6  34310  cvmlift3lem9  34313  gg-reparphti  35167  lcmineqlem12  40900