Theorem 0elunit 13183

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10961	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12057	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11481	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13180	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1339	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   ≤ cle 10994  [,]cicc 13064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-icc 13068

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24090  htpycom  24120  htpyid  24121  htpyco1  24122  htpyco2  24123  htpycc  24124  phtpy01  24129  phtpycom  24132  phtpyid  24133  phtpyco2  24134  phtpycc  24135  reparphti  24141  pcocn  24161  pcohtpylem  24163  pcoptcl  24165  pcopt  24166  pcopt2  24167  pcoass  24168  pcorevcl  24169  pcorevlem  24170  pi1xfrf  24197  pi1xfr  24199  pi1xfrcnvlem  24200  pi1xfrcnv  24201  pi1cof  24203  pi1coghm  24205  dvlipcn  25139  lgamgulmlem2  26160  ttgcontlem1  27233  brbtwn2  27254  axsegconlem1  27266  axpaschlem  27289  axcontlem7  27319  axcontlem8  27320  xrge0iifcnv  31862  xrge0iifiso  31864  xrge0iifhom  31866  cnpconn  33171  pconnconn  33172  txpconn  33173  ptpconn  33174  indispconn  33175  connpconn  33176  sconnpi1  33180  txsconnlem  33181  txsconn  33182  cvxpconn  33183  cvxsconn  33184  cvmliftlem14  33238  cvmlift2lem2  33245  cvmlift2lem3  33246  cvmlift2lem8  33251  cvmlift2lem12  33255  cvmlift2lem13  33256  cvmliftphtlem  33258  cvmliftpht  33259  cvmlift3lem1  33260  cvmlift3lem2  33261  cvmlift3lem4  33263  cvmlift3lem5  33264  cvmlift3lem6  33265  cvmlift3lem9  33268  lcmineqlem12  40028