Theorem 0elunit 13390

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11136	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12247	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11661	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13387	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   ≤ cle 11169  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24860  htpycom  24891  htpyid  24892  htpyco1  24893  htpyco2  24894  htpycc  24895  phtpy01  24900  phtpycom  24903  phtpyid  24904  phtpyco2  24905  phtpycc  24906  reparphti  24912  reparphtiOLD  24913  pcocn  24933  pcohtpylem  24935  pcoptcl  24937  pcopt  24938  pcopt2  24939  pcoass  24940  pcorevcl  24941  pcorevlem  24942  pi1xfrf  24969  pi1xfr  24971  pi1xfrcnvlem  24972  pi1xfrcnv  24973  pi1cof  24975  pi1coghm  24977  dvlipcn  25915  lgamgulmlem2  26956  ttgcontlem1  28848  brbtwn2  28868  axsegconlem1  28880  axpaschlem  28903  axcontlem7  28933  axcontlem8  28934  xrge0iifcnv  33902  xrge0iifiso  33904  xrge0iifhom  33906  cnpconn  35205  pconnconn  35206  txpconn  35207  ptpconn  35208  indispconn  35209  connpconn  35210  sconnpi1  35214  txsconnlem  35215  txsconn  35216  cvxpconn  35217  cvxsconn  35218  cvmliftlem14  35272  cvmlift2lem2  35279  cvmlift2lem3  35280  cvmlift2lem8  35285  cvmlift2lem12  35289  cvmlift2lem13  35290  cvmliftphtlem  35292  cvmliftpht  35293  cvmlift3lem1  35294  cvmlift3lem2  35295  cvmlift3lem4  35297  cvmlift3lem5  35298  cvmlift3lem6  35299  cvmlift3lem9  35302  lcmineqlem12  42016