Theorem 0elunit 13497

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11211	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12343	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11738	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13494	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1360	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  xrhmeo  25086  htpycom  25116  htpyid  25117  htpyco1  25118  htpyco2  25119  htpycc  25120  phtpy01  25125  phtpycom  25128  phtpyid  25129  phtpyco2  25130  phtpycc  25131  reparphti  25137  pcocn  25157  pcohtpylem  25159  pcoptcl  25161  pcopt  25162  pcopt2  25163  pcoass  25164  pcorevcl  25165  pcorevlem  25166  pi1xfrf  25193  pi1xfr  25195  pi1xfrcnvlem  25196  pi1xfrcnv  25197  pi1cof  25199  pi1coghm  25201  dvlipcn  26134  lgamgulmlem2  27175  ttgcontlem1  29215  brbtwn2  29236  axsegconlem1  29248  axpaschlem  29271  axcontlem7  29301  axcontlem8  29302  xrge0iifcnv  34304  xrge0iifiso  34306  xrge0iifhom  34308  cnpconn  35703  pconnconn  35704  txpconn  35705  ptpconn  35706  indispconn  35707  connpconn  35708  sconnpi1  35712  txsconnlem  35713  txsconn  35714  cvxpconn  35715  cvxsconn  35716  cvmliftlem14  35770  cvmlift2lem2  35777  cvmlift2lem3  35778  cvmlift2lem8  35783  cvmlift2lem12  35787  cvmlift2lem13  35788  cvmliftphtlem  35790  cvmliftpht  35791  cvmlift3lem1  35792  cvmlift3lem2  35793  cvmlift3lem4  35795  cvmlift3lem5  35796  cvmlift3lem6  35797  cvmlift3lem9  35800  lcmineqlem12  42788