Theorem 0elunit 13376

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11125	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12237	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11651	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13373	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1342	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   ≤ cle 11158  [,]cicc 13255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-icc 13259

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24891  htpycom  24922  htpyid  24923  htpyco1  24924  htpyco2  24925  htpycc  24926  phtpy01  24931  phtpycom  24934  phtpyid  24935  phtpyco2  24936  phtpycc  24937  reparphti  24943  reparphtiOLD  24944  pcocn  24964  pcohtpylem  24966  pcoptcl  24968  pcopt  24969  pcopt2  24970  pcoass  24971  pcorevcl  24972  pcorevlem  24973  pi1xfrf  25000  pi1xfr  25002  pi1xfrcnvlem  25003  pi1xfrcnv  25004  pi1cof  25006  pi1coghm  25008  dvlipcn  25946  lgamgulmlem2  26987  ttgcontlem1  28883  brbtwn2  28904  axsegconlem1  28916  axpaschlem  28939  axcontlem7  28969  axcontlem8  28970  xrge0iifcnv  34018  xrge0iifiso  34020  xrge0iifhom  34022  cnpconn  35346  pconnconn  35347  txpconn  35348  ptpconn  35349  indispconn  35350  connpconn  35351  sconnpi1  35355  txsconnlem  35356  txsconn  35357  cvxpconn  35358  cvxsconn  35359  cvmliftlem14  35413  cvmlift2lem2  35420  cvmlift2lem3  35421  cvmlift2lem8  35426  cvmlift2lem12  35430  cvmlift2lem13  35431  cvmliftphtlem  35433  cvmliftpht  35434  cvmlift3lem1  35435  cvmlift3lem2  35436  cvmlift3lem4  35438  cvmlift3lem5  35439  cvmlift3lem6  35440  cvmlift3lem9  35443  lcmineqlem12  42206