Theorem 0elunit 13529

Description: Zero is an element of the closed unit interval. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 12394	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 11813	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		elicc01 13526	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1341	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24996  htpycom  25027  htpyid  25028  htpyco1  25029  htpyco2  25030  htpycc  25031  phtpy01  25036  phtpycom  25039  phtpyid  25040  phtpyco2  25041  phtpycc  25042  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  pcocn  25069  pcohtpylem  25071  pcoptcl  25073  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcoass  25076  pcorevcl  25077  pcorevlem  25078  pi1xfrf  25105  pi1xfr  25107  pi1xfrcnvlem  25108  pi1xfrcnv  25109  pi1cof  25111  pi1coghm  25113  dvlipcn  26053  lgamgulmlem2  27091  ttgcontlem1  28917  brbtwn2  28938  axsegconlem1  28950  axpaschlem  28973  axcontlem7  29003  axcontlem8  29004  xrge0iifcnv  33879  xrge0iifiso  33881  xrge0iifhom  33883  cnpconn  35198  pconnconn  35199  txpconn  35200  ptpconn  35201  indispconn  35202  connpconn  35203  sconnpi1  35207  txsconnlem  35208  txsconn  35209  cvxpconn  35210  cvxsconn  35211  cvmliftlem14  35265  cvmlift2lem2  35272  cvmlift2lem3  35273  cvmlift2lem8  35278  cvmlift2lem12  35282  cvmlift2lem13  35283  cvmliftphtlem  35285  cvmliftpht  35286  cvmlift3lem1  35287  cvmlift3lem2  35288  cvmlift3lem4  35290  cvmlift3lem5  35291  cvmlift3lem6  35292  cvmlift3lem9  35295  lcmineqlem12  41997